Номер 11.9, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.9, страница 62.

11.9. a) $y = \pi^x;$ б) $y = x^\pi;$ в) $y = (\sqrt{x})^5;$ г) $y = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^x.$

а)

Дана функция $y = \pi^x$. Это показательная функция вида $y = a^x$, где основание $a = \pi$ является константой, а показатель степени $x$ — переменной. Производная показательной функции находится по формуле: $(a^x)' = a^x \ln(a)$. Применяя эту формулу к нашей функции, получаем: $y' = (\pi^x)' = \pi^x \ln(\pi)$.

Ответ: $y' = \pi^x \ln(\pi)$.

б)

Дана функция $y = x^\pi$. Это степенная функция вида $y = x^n$, где основание $x$ является переменной, а показатель степени $n = \pi$ — константой. Производная степенной функции находится по формуле: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. Применяя эту формулу, получаем: $y' = (x^\pi)' = \pi \cdot x^{\pi - 1}$.

Ответ: $y' = \pi x^{\pi - 1}$.

в)

Дана функция $y = (\sqrt{x})^5$. Сначала преобразуем функцию, используя свойства степеней. Корень из $x$ можно записать как $x$ в степени $1/2$: $\sqrt{x} = x^{1/2}$. Тогда функция принимает вид: $y = (x^{1/2})^5 = x^{1/2 \cdot 5} = x^{5/2}$. Теперь это степенная функция вида $y = x^n$ с показателем $n = 5/2$. Используем формулу для производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$: $y' = (x^{5/2})' = \frac{5}{2} \cdot x^{5/2 - 1}$. Вычислим новый показатель степени: $5/2 - 1 = 5/2 - 2/2 = 3/2$. Таким образом, производная равна: $y' = \frac{5}{2} x^{3/2}$. Результат также можно записать в виде $y' = \frac{5}{2} x\sqrt{x}$.

Ответ: $y' = \frac{5}{2} x^{3/2}$.

г)

Дана функция $y = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^x$. Это показательная функция вида $y = a^x$, где основание $a = \frac{1}{\sqrt{5}}$ является константой. Применяем формулу для производной показательной функции $(a^x)' = a^x \ln(a)$: $y' = \left(\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^x\right)' = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^x \ln\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$. Упростим логарифм, используя свойство логарифма степени $\ln(b^p) = p \ln(b)$: $\ln\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \ln(5^{-1/2}) = -\frac{1}{2} \ln(5)$. Подставляем упрощенное выражение обратно в производную: $y' = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^x \cdot \left(-\frac{1}{2} \ln(5)\right) = -\frac{\ln(5)}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^x$.

Ответ: $y' = -\frac{\ln(5)}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^x$.