Номер 11.13, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.13, страница 63.

Схематично изобразите график показательной функции:

11.13. а) $y = (\sqrt{2})^x$;

в) $y = (\sqrt{7})^x$;

б) $y = \left(\frac{1}{\pi}\right)^x$;

г) $y = \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^x$.

а)

Дана показательная функция $y = (\sqrt{2})^x$. Общий вид такой функции $y = a^x$. В данном случае основание $a = \sqrt{2}$.

Определим, является ли функция возрастающей или убывающей. Для этого сравним основание $a$ с единицей. Так как $2 > 1$, то $\sqrt{2} > \sqrt{1}$, следовательно, $a = \sqrt{2} > 1$.

Поскольку основание больше единицы ($a > 1$), функция является возрастающей на всей области определения.

Основные свойства и ключевые точки графика:

• Область определения функции — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$.
• Область значений — все положительные действительные числа, $y \in (0; +\infty)$.
• График пересекает ось ординат в точке $(0, 1)$, так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице: $(\sqrt{2})^0 = 1$.
• Ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to -\infty$.
• При $x=2$, $y = (\sqrt{2})^2 = 2$. Точка $(2, 2)$ принадлежит графику.

Схематичное изображение графика возрастающей показательной функции:

Ответ: График функции $y = (\sqrt{2})^x$ — это возрастающая кривая, проходящая через точку $(0,1)$ и асимптотически приближающаяся к оси Ox слева.

б)

Дана показательная функция $y = \left(\frac{1}{\pi}\right)^x$. Основание $a = \frac{1}{\pi}$.

Оценим основание $a$. Число $\pi$ — иррациональное, примерно равное $3.14159$. Так как $\pi > 1$, то его обратное значение $0 < \frac{1}{\pi} < 1$.

Поскольку основание находится в интервале $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей области определения.

Основные свойства и ключевые точки графика:

• Область определения: $x \in (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $y \in (0; +\infty)$.
• График пересекает ось ординат в точке $(0, 1)$, так как $\left(\frac{1}{\pi}\right)^0 = 1$.
• Ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to +\infty$.
• При $x=-1$, $y = \left(\frac{1}{\pi}\right)^{-1} = \pi$. Точка $(-1, \pi)$ принадлежит графику.

Схематичное изображение графика убывающей показательной функции:

Ответ: График функции $y = \left(\frac{1}{\pi}\right)^x$ — это убывающая кривая, проходящая через точку $(0,1)$ и асимптотически приближающаяся к оси Ox справа.

в)

Дана показательная функция $y = (\sqrt{7})^x$. Основание $a = \sqrt{7}$.

Оценим основание $a$. Так как $7 > 1$, то $\sqrt{7} > \sqrt{1}$, следовательно, $a = \sqrt{7} > 1$.

Поскольку основание $a > 1$, функция является возрастающей.

Основные свойства и ключевые точки графика:

• Область определения: $x \in (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $y \in (0; +\infty)$.
• График пересекает ось ординат в точке $(0, 1)$, так как $(\sqrt{7})^0 = 1$.
• Ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$.
• При $x=2$, $y = (\sqrt{7})^2 = 7$. Точка $(2, 7)$ принадлежит графику.
• Поскольку $\sqrt{7} > \sqrt{2}$, график этой функции растет "круче", чем график функции из пункта а).

Схематичное изображение графика (аналогично пункту а):

Ответ: График функции $y = (\sqrt{7})^x$ — это возрастающая кривая, проходящая через точку $(0,1)$ и асимптотически приближающаяся к оси Ox слева.

г)

Дана показательная функция $y = \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^x$. Основание $a = \frac{1}{\sqrt{6}}$.

Оценим основание $a$. Так как $6 > 1$, то $\sqrt{6} > 1$, и следовательно, обратное значение $0 < \frac{1}{\sqrt{6}} < 1$.

Поскольку основание $0 < a < 1$, функция является убывающей.

Основные свойства и ключевые точки графика:

• Область определения: $x \in (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $y \in (0; +\infty)$.
• График пересекает ось ординат в точке $(0, 1)$, так как $\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^0 = 1$.
• Ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$.
• При $x=-2$, $y = \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^{-2} = (\sqrt{6})^2 = 6$. Точка $(-2, 6)$ принадлежит графику.
• Так как $\sqrt{6} < \pi$, то $\frac{1}{\sqrt{6}} > \frac{1}{\pi}$. Это означает, что график этой функции убывает медленнее, чем график из пункта б).

Схематичное изображение графика (аналогично пункту б):

Ответ: График функции $y = \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^x$ — это убывающая кривая, проходящая через точку $(0,1)$ и асимптотически приближающаяся к оси Ox справа.