Номер 11.17, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.17, страница 63.

11.17. Сравните значения $3^{x_1}$ и $3^{x_2}$, если:

а) $x_1 = \frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{2}{3}$;

б) $x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = -\frac{1}{2}$;

в) $x_1 = \frac{4}{5}$, $x_2 = \frac{3}{5}$;

г) $x_1 = 1$, $x_2 = -\frac{3}{2}$.

Для сравнения значений $3^{x_1}$ и $3^{x_2}$ воспользуемся свойством показательной функции $y = a^x$. Так как основание степени $a=3$ больше единицы ($3 > 1$), функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. Следовательно, чтобы сравнить $3^{x_1}$ и $3^{x_2}$, достаточно сравнить их показатели $x_1$ и $x_2$. Знак неравенства для степеней будет таким же, как и для их показателей.

а) Дано: $x_1 = \frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{2}{3}$.
Сравним показатели $x_1$ и $x_2$.
Поскольку $\frac{1}{3} < \frac{2}{3}$, то $x_1 < x_2$.
Так как функция $y = 3^x$ возрастающая, из $x_1 < x_2$ следует, что $3^{x_1} < 3^{x_2}$.
Следовательно, $3^{\frac{1}{3}} < 3^{\frac{2}{3}}$.
Ответ: $3^{\frac{1}{3}} < 3^{\frac{2}{3}}$.

б) Дано: $x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = -\frac{1}{2}$.
Сравним показатели $x_1$ и $x_2$.
Поскольку любое положительное число больше любого отрицательного, $\frac{1}{2} > -\frac{1}{2}$, то есть $x_1 > x_2$.
Так как функция $y = 3^x$ возрастающая, из $x_1 > x_2$ следует, что $3^{x_1} > 3^{x_2}$.
Следовательно, $3^{\frac{1}{2}} > 3^{-\frac{1}{2}}$.
Ответ: $3^{\frac{1}{2}} > 3^{-\frac{1}{2}}$.

в) Дано: $x_1 = \frac{4}{5}$, $x_2 = \frac{3}{5}$.
Сравним показатели $x_1$ и $x_2$.
Поскольку $\frac{4}{5} > \frac{3}{5}$, то $x_1 > x_2$.
Так как функция $y = 3^x$ возрастающая, из $x_1 > x_2$ следует, что $3^{x_1} > 3^{x_2}$.
Следовательно, $3^{\frac{4}{5}} > 3^{\frac{3}{5}}$.
Ответ: $3^{\frac{4}{5}} > 3^{\frac{3}{5}}$.

г) Дано: $x_1 = 1$, $x_2 = -\frac{3}{2}$.
Сравним показатели $x_1$ и $x_2$.
Поскольку любое положительное число больше любого отрицательного, $1 > -\frac{3}{2}$, то есть $x_1 > x_2$.
Так как функция $y = 3^x$ возрастающая, из $x_1 > x_2$ следует, что $3^{x_1} > 3^{x_2}$.
Следовательно, $3^1 > 3^{-\frac{3}{2}}$.
Ответ: $3^1 > 3^{-\frac{3}{2}}$.