Номер 11.23, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.23, страница 64.

Расположите числа в порядке возрастания:

11.23. a) $2^{\frac{1}{3}}$; $2^{-\frac{1}{2}}$; $2^{\sqrt{3}}$; $2^{-\sqrt{2}}$; $2^{14}$; $1$;

б) $0,3^9$; $1$; $0,3^{-\sqrt{5}}$; $0,3^{\frac{1}{2}}$; $0,3^{-9}$; $0,3^{\frac{1}{3}}$.

а)

Для того чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, необходимо сравнить их. Все числа, кроме единицы, представляют собой степень с основанием $2$. Число $1$ можно представить как $2^0$.

Поскольку основание степени $a=2$ больше единицы ($a>1$), показательная функция $y=a^x$ является возрастающей. Это означает, что чем больше показатель степени $x$, тем больше значение числа $a^x$. Следовательно, чтобы расположить числа в порядке возрастания, достаточно расположить их показатели степени в порядке возрастания.

Показатели степеней данных чисел: $\frac{1}{3}$, $-\frac{1}{2}$, $\sqrt{3}$, $-\sqrt{2}$, $1,4$ и $0$ (от числа $1=2^0$).

Сравним эти показатели. Для удобства можно использовать их приблизительные десятичные значения:

• $-\sqrt{2} \approx -1,414$
• $-\frac{1}{2} = -0,5$
• $0$
• $\frac{1}{3} \approx 0,333$
• $1,4$
• $\sqrt{3} \approx 1,732$

Расположив показатели в порядке возрастания, получаем: $-\sqrt{2} < -\frac{1}{2} < 0 < \frac{1}{3} < 1,4 < \sqrt{3}$

Так как функция $y=2^x$ возрастающая, порядок для самих чисел будет таким же: $2^{-\sqrt{2}} < 2^{-\frac{1}{2}} < 2^0 < 2^{\frac{1}{3}} < 2^{1,4} < 2^{\sqrt{3}}$

Заменив $2^0$ на $1$, получаем итоговый ряд чисел в порядке возрастания.

Ответ: $2^{-\sqrt{2}}$, $2^{-\frac{1}{2}}$, $1$, $2^{\frac{1}{3}}$, $2^{1,4}$, $2^{\sqrt{3}}$.

б)

В данном случае все числа, кроме единицы, являются степенями с основанием $0,3$. Число $1$ можно представить как $0,3^0$.

Поскольку основание степени $a=0,3$ находится в интервале от $0$ до $1$ ($0 < a < 1$), показательная функция $y=a^x$ является убывающей. Это означает, что чем больше показатель степени $x$, тем меньше значение числа $a^x$. Таким образом, чтобы расположить числа в порядке возрастания, нужно расположить их показатели степени в порядке убывания.

Показатели степеней данных чисел: $9$, $0$ (от $1=0,3^0$), $-\sqrt{5}$, $\frac{1}{2}$, $-9$, $\frac{1}{3}$.

Сначала расположим показатели в порядке возрастания, чтобы не запутаться: $-9 < -\sqrt{5} < 0 < \frac{1}{3} < \frac{1}{2} < 9$ (Приблизительные значения: $-\sqrt{5} \approx -2,236$; $\frac{1}{3} \approx 0,333$; $\frac{1}{2}=0,5$)

Теперь расположим показатели в порядке убывания: $9 > \frac{1}{2} > \frac{1}{3} > 0 > -\sqrt{5} > -9$

Так как функция $y=0,3^x$ убывающая, то из $x_1 > x_2$ следует $0,3^{x_1} < 0,3^{x_2}$. Применяя это свойство к убывающему ряду показателей, мы получим возрастающий ряд значений степеней: $0,3^9 < 0,3^{\frac{1}{2}} < 0,3^{\frac{1}{3}} < 0,3^0 < 0,3^{-\sqrt{5}} < 0,3^{-9}$

Заменив $0,3^0$ на $1$, получаем итоговый ряд.

Ответ: $0,3^9$, $0,3^{\frac{1}{2}}$, $0,3^{\frac{1}{3}}$, $1$, $0,3^{-\sqrt{5}}$, $0,3^{-9}$.