Номер 11.25, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.25, страница 64.

11.25. a) $(\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{\frac{5}{6}})$; $(\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{-0.2})$; $(\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{\frac{2}{3}})$; $(\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{-\frac{1}{6}})$; $(\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{1.3})$; $(\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{-2.1})$;

б) $(\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{0.1})$; $(\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{-0.5})$; $(\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{-3.4}).

а)

В данном задании все числа являются степенями с одинаковым основанием $a = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

Оценим величину основания. Так как $\sqrt{5} > \sqrt{1} = 1$, то $0 < \frac{1}{\sqrt{5}} < 1$.

Показательная функция $y = a^x$ с основанием $0 < a < 1$ является убывающей. Это означает, что чем больше показатель степени, тем меньше значение функции. Следовательно, чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, необходимо их показатели степени расположить в порядке убывания.

Выпишем показатели степеней: $\frac{5}{6}$; $-0,2$; $\frac{2}{3}$; $-\frac{1}{6}$; $1,3$; $-2,1$.

Сравним эти числа. Для удобства можно перевести их в десятичные дроби или привести к общему знаменателю.

• $\frac{5}{6} \approx 0,833...$
• $-0,2$
• $\frac{2}{3} \approx 0,667...$
• $-\frac{1}{6} \approx -0,167...$
• $1,3$
• $-2,1$

Расположим показатели в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему): $1,3 > \frac{5}{6} > \frac{2}{3} > -\frac{1}{6} > -0,2 > -2,1$.

Поскольку функция убывающая, порядок для самих чисел будет обратным. Располагаем числа в порядке возрастания: $(\frac{1}{\sqrt{5}})^{1,3} < (\frac{1}{\sqrt{5}})^{\frac{5}{6}} < (\frac{1}{\sqrt{5}})^{\frac{2}{3}} < (\frac{1}{\sqrt{5}})^{-\frac{1}{6}} < (\frac{1}{\sqrt{5}})^{-0,2} < (\frac{1}{\sqrt{5}})^{-2,1}$.

Ответ: в порядке возрастания: $(\frac{1}{\sqrt{5}})^{1,3}; (\frac{1}{\sqrt{5}})^{\frac{5}{6}}; (\frac{1}{\sqrt{5}})^{\frac{2}{3}}; (\frac{1}{\sqrt{5}})^{-\frac{1}{6}}; (\frac{1}{\sqrt{5}})^{-0,2}; (\frac{1}{\sqrt{5}})^{-2,1}$.

б)

Все числа имеют одинаковое основание $a = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Определим знак и величину основания. Для этого сравним числа $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ и $\frac{1}{\sqrt{2}}$. Это равносильно сравнению их знаменателей $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt{2}$.

Возведем оба знаменателя в степень 6 (наименьшее общее кратное показателей корней 2 и 3):
$(\sqrt[3]{2})^6 = (2^{1/3})^6 = 2^2 = 4$
$(\sqrt{2})^6 = (2^{1/2})^6 = 2^3 = 8$

Так как $4 < 8$, то $\sqrt[3]{2} < \sqrt{2}$. Для положительных чисел, чем больше знаменатель, тем меньше дробь, поэтому $\frac{1}{\sqrt[3]{2}} > \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Следовательно, основание $a = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}$ является положительным числом ($a > 0$).

Теперь оценим его величину. Поскольку $\sqrt[3]{2} > \sqrt[3]{1} = 1$, то $0 < \frac{1}{\sqrt[3]{2}} < 1$. Так как мы вычитаем положительное число $\frac{1}{\sqrt{2}}$, то $a = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} < \frac{1}{\sqrt[3]{2}} < 1$.

Таким образом, основание $a$ находится в интервале $0 < a < 1$. Показательная функция с таким основанием является убывающей. Чтобы расположить числа в порядке возрастания, их показатели степени нужно расположить в порядке убывания.

Показатели степеней: $0,1$; $-0,5$; $-3,4$.

Расположим их в порядке убывания: $0,1 > -0,5 > -3,4$.

Так как функция убывающая, порядок для самих чисел будет обратным. В порядке возрастания числа располагаются так: $(\frac{1}{\sqrt[3]{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}})^{0,1} < (\frac{1}{\sqrt[3]{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}})^{-0,5} < (\frac{1}{\sqrt[3]{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}})^{-3,4}$.

Ответ: в порядке возрастания: $(\frac{1}{\sqrt[3]{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}})^{0,1}; (\frac{1}{\sqrt[3]{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}})^{-0,5}; (\frac{1}{\sqrt[3]{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}})^{-3,4}$.