Номер 11.26, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.26, страница 65.

Исследуйте функцию на монотонность:

11.26. а) $y = (\sqrt{3})^x$;

б) $y = 0.3^x$;

в) $y = 21^x$;

г) $y = \left(\frac{4}{\sqrt{19}}\right)^x$.

Для исследования показательной функции вида $y = a^x$ на монотонность необходимо проанализировать ее основание $a$. Характер монотонности функции зависит от того, больше или меньше единицы ее основание (при условии, что $a > 0$ и $a \neq 1$):

• Если основание $a > 1$, функция является строго возрастающей на всей области определения ($x \in \mathbb{R}$).
• Если $0 < a < 1$, функция является строго убывающей на всей области определения ($x \in \mathbb{R}$).

а) Дана функция $y = (\sqrt{3})^x$.
Основанием этой показательной функции является $a = \sqrt{3}$.
Сравним основание с единицей. Мы знаем, что $3 > 1$. Извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства, получаем $\sqrt{3} > \sqrt{1}$, что равносильно $\sqrt{3} > 1$.
Так как основание $a = \sqrt{3} > 1$, функция является возрастающей.
Ответ: функция возрастающая.

б) Дана функция $y = 0,3^x$.
Основанием этой показательной функции является $a = 0,3$.
Сравним основание с единицей. Очевидно, что $0 < 0,3 < 1$.
Так как основание $0 < a < 1$, функция является убывающей.
Ответ: функция убывающая.

в) Дана функция $y = 21^x$.
Основанием этой показательной функции является $a = 21$.
Сравним основание с единицей: $21 > 1$.
Так как основание $a > 1$, функция является возрастающей.
Ответ: функция возрастающая.

г) Дана функция $y = \left(\frac{4}{\sqrt{19}}\right)^x$.
Основанием этой показательной функции является $a = \frac{4}{\sqrt{19}}$.
Чтобы сравнить это основание с единицей, необходимо сравнить числитель $4$ и знаменатель $\sqrt{19}$. Для этого удобно сравнить их квадраты.
$4^2 = 16$
$(\sqrt{19})^2 = 19$
Поскольку $16 < 19$, то и $4 < \sqrt{19}$.
Так как числитель положительной дроби меньше ее знаменателя, то сама дробь меньше единицы: $0 < \frac{4}{\sqrt{19}} < 1$.
Поскольку основание $0 < a < 1$, функция является убывающей.
Ответ: функция убывающая.