Номер 11.19, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.19, страница 64.

11.19. Сравните значения $(\sqrt{3})^\alpha$ и $(\sqrt{3})^\beta$, если:

а) $\alpha = 0,3$, $\beta = \frac{1}{4}$;

б) $\alpha = -\frac{1}{3}$, $\beta = -0,4$;

в) $\alpha = 1,9$, $\beta = 2,1$;

г) $\alpha = 3,1$, $\beta = \sqrt{10}$.

Для сравнения значений $(\sqrt{3})^\alpha$ и $(\sqrt{3})^\beta$ используется свойство показательной функции $y = a^x$. Основание степени $a = \sqrt{3}$ больше 1 (так как $1^2=1$, $2^2=4$, то $1 < \sqrt{3} < 2$). Для функции $y=a^x$ с основанием $a>1$ справедливо утверждение: чем больше показатель степени $x$, тем больше значение функции $y$. Таким образом, чтобы сравнить степени, достаточно сравнить их показатели $\alpha$ и $\beta$. Если $\alpha > \beta$, то $(\sqrt{3})^\alpha > (\sqrt{3})^\beta$, и наоборот.

а) Сравниваем показатели $\alpha = 0,3$ и $\beta = \frac{1}{4}$. Для этого представим $\beta$ в виде десятичной дроби: $\beta = \frac{1}{4} = 0,25$. Теперь сравним $\alpha$ и $\beta$: $0,3 > 0,25$, следовательно, $\alpha > \beta$. Поскольку основание $\sqrt{3} > 1$, показательная функция является возрастающей. Из того, что $\alpha > \beta$, следует, что $(\sqrt{3})^\alpha > (\sqrt{3})^\beta$.
Ответ: $(\sqrt{3})^{0,3} > (\sqrt{3})^{\frac{1}{4}}$.

б) Сравниваем показатели $\alpha = -\frac{1}{3}$ и $\beta = -0,4$. Представим $\alpha$ в виде десятичной дроби: $\alpha = -\frac{1}{3} = -0,333...$ Теперь сравним $\alpha = -0,333...$ и $\beta = -0,4$. Для отрицательных чисел, то число больше, модуль которого меньше. Так как $|-0,333...| < |-0,4|$, то $-0,333... > -0,4$. Следовательно, $\alpha > \beta$. Так как основание $\sqrt{3} > 1$, функция $y = (\sqrt{3})^x$ возрастает, а значит $(\sqrt{3})^\alpha > (\sqrt{3})^\beta$.
Ответ: $(\sqrt{3})^{-\frac{1}{3}} > (\sqrt{3})^{-0,4}$.

в) Сравниваем показатели $\alpha = 1,9$ и $\beta = 2,1$. Очевидно, что $1,9 < 2,1$, то есть $\alpha < \beta$. Поскольку основание $\sqrt{3} > 1$, функция $y = (\sqrt{3})^x$ является возрастающей. Следовательно, из $\alpha < \beta$ следует, что $(\sqrt{3})^\alpha < (\sqrt{3})^\beta$.
Ответ: $(\sqrt{3})^{1,9} < (\sqrt{3})^{2,1}$.

г) Сравниваем показатели $\alpha = 3,1$ и $\beta = \sqrt{10}$. Оба числа положительные, поэтому для их сравнения можно сравнить их квадраты. Если $\alpha^2 < \beta^2$, то и $\alpha < \beta$. Найдем квадраты чисел: $\alpha^2 = (3,1)^2 = 9,61$. $\beta^2 = (\sqrt{10})^2 = 10$. Сравниваем квадраты: $9,61 < 10$, следовательно, $\alpha^2 < \beta^2$. Отсюда следует, что $3,1 < \sqrt{10}$, то есть $\alpha < \beta$. Поскольку основание $\sqrt{3} > 1$, показательная функция является возрастающей. Из $\alpha < \beta$ следует, что $(\sqrt{3})^\alpha < (\sqrt{3})^\beta$.
Ответ: $(\sqrt{3})^{3,1} < (\sqrt{3})^{\sqrt{10}}$.