Номер 11.12, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.12, страница 62.

11.12. Найдите значение аргумента $x$, при котором функция

$y = \left(\frac{1}{5}\right)^x$ принимает заданное значение:

а) $\frac{1}{25}$;

б) $\frac{1}{25\sqrt{5}};$

в) 125;

г) $625\sqrt{5}$.

Чтобы найти значение аргумента $x$, при котором функция $y = (\frac{1}{5})^x$ принимает заданное значение, нужно решить показательное уравнение $(\frac{1}{5})^x = y$ для каждого заданного значения $y$. Для этого представим обе части уравнения в виде степени с одинаковым основанием $5$.

Используем свойство степеней: $(\frac{a}{b})^n = (b/a)^{-n}$ и $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Тогда исходную функцию можно записать как $y = (5^{-1})^x = 5^{-x}$.

а)

Найдем $x$, если значение функции равно $\frac{1}{25}$.

Составим уравнение:

$(\frac{1}{5})^x = \frac{1}{25}$

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{1}{5}$:

$\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = (\frac{1}{5})^2$

Получаем уравнение:

$(\frac{1}{5})^x = (\frac{1}{5})^2$

Так как основания степеней равны, то равны и их показатели:

$x = 2$

Ответ: $2$.

б)

Найдем $x$, если значение функции равно $\frac{1}{25\sqrt{5}}$.

Составим уравнение:

$(\frac{1}{5})^x = \frac{1}{25\sqrt{5}}$

Преобразуем правую часть, представив ее как степень числа 5. Используем свойства $\sqrt{a} = a^{1/2}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$25\sqrt{5} = 5^2 \cdot 5^{1/2} = 5^{2 + \frac{1}{2}} = 5^{5/2}$

Тогда $\frac{1}{25\sqrt{5}} = \frac{1}{5^{5/2}} = 5^{-5/2}$.

Исходное уравнение принимает вид:

$5^{-x} = 5^{-5/2}$

Приравниваем показатели степеней:

$-x = -\frac{5}{2}$

$x = \frac{5}{2} = 2.5$

Ответ: $2.5$.

в)

Найдем $x$, если значение функции равно $125$.

Составим уравнение:

$(\frac{1}{5})^x = 125$

Представим обе части уравнения как степени с основанием 5:

$(\frac{1}{5})^x = 5^{-x}$

$125 = 5^3$

Получаем уравнение:

$5^{-x} = 5^3$

Приравниваем показатели степеней:

$-x = 3$

$x = -3$

Ответ: $-3$.

г)

Найдем $x$, если значение функции равно $625\sqrt{5}$.

Составим уравнение:

$(\frac{1}{5})^x = 625\sqrt{5}$

Представим обе части уравнения как степени с основанием 5:

$(\frac{1}{5})^x = 5^{-x}$

$625\sqrt{5} = 5^4 \cdot 5^{1/2} = 5^{4 + \frac{1}{2}} = 5^{9/2}$

Получаем уравнение:

$5^{-x} = 5^{9/2}$

Приравниваем показатели степеней:

$-x = \frac{9}{2}$

$x = -\frac{9}{2} = -4.5$

Ответ: $-4.5$.