Номер 11.7, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.7, страница 62.

11.7. a) $\sqrt[4]{8} \cdot 2^{0.5} : 2^{1.25},$

б) $\sqrt[4]{10000} \cdot \sqrt{100} : 10^3;$

В) $\sqrt[3]{81} \cdot 3^{2.6} : 3^{1.6},$

Г) $\sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[3]{128} : 2^3.$

а) $\sqrt[4]{8} \cdot 2^{0,5} : 2^{1,25}$

Для решения представим все числа в виде степеней с основанием 2.
Корень четвертой степени из 8 можно записать как $\sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2^3} = 2^{\frac{3}{4}}$.
Десятичные показатели степени представим в виде обыкновенных дробей: $0,5 = \frac{1}{2}$ и $1,25 = \frac{5}{4}$.
Теперь выражение выглядит так: $2^{\frac{3}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} : 2^{\frac{5}{4}}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, а при делении – вычитаются:
$2^{\frac{3}{4} + \frac{1}{2} - \frac{5}{4}}$.
Приведем дроби в показателе к общему знаменателю 4:
$2^{\frac{3}{4} + \frac{2}{4} - \frac{5}{4}} = 2^{\frac{3+2-5}{4}} = 2^{\frac{0}{4}} = 2^0$.
Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1.
Ответ: 1

б) $\sqrt[4]{10000} \cdot \sqrt{100} : 10^3$

Представим все числа в виде степеней с основанием 10.
$\sqrt[4]{10000} = \sqrt[4]{10^4} = 10^{\frac{4}{4}} = 10^1 = 10$.
$\sqrt{100} = \sqrt{10^2} = 10^{\frac{2}{2}} = 10^1 = 10$.
Подставим значения в исходное выражение: $10 \cdot 10 : 10^3$.
Используя свойства степеней, получаем: $10^{1+1} : 10^3 = 10^2 : 10^3 = 10^{2-3} = 10^{-1}$.
Значение выражения: $10^{-1} = \frac{1}{10} = 0,1$.
Ответ: 0,1

в) $\sqrt[3]{81} \cdot 3^{2,6} : 3^{1,6}$

Представим все множители и делители как степени числа 3.
$81 = 3^4$, поэтому $\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{3^4} = 3^{\frac{4}{3}}$.
Выражение принимает вид: $3^{\frac{4}{3}} \cdot 3^{2,6} : 3^{1,6}$.
Применяем свойства степеней (при умножении показатели складываются, при делении вычитаются):
$3^{\frac{4}{3} + 2,6 - 1,6} = 3^{\frac{4}{3} + 1}$.
Сложим показатели: $\frac{4}{3} + 1 = \frac{4}{3} + \frac{3}{3} = \frac{7}{3}$.
Получаем $3^{\frac{7}{3}}$.
Это можно записать в виде корня: $3^{\frac{7}{3}} = 3^{2 + \frac{1}{3}} = 3^2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} = 9\sqrt[3]{3}$.
Ответ: $9\sqrt[3]{3}$

г) $\sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[3]{128} : 2^3$

Представим все числа в виде степеней с основанием 2.
$\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2^{\frac{4}{4}} = 2^1 = 2$.
$128 = 2^7$, поэтому $\sqrt[3]{128} = \sqrt[3]{2^7} = 2^{\frac{7}{3}}$.
Выражение принимает вид: $2^1 \cdot 2^{\frac{7}{3}} : 2^3$.
Применяя свойства степеней, получаем: $2^{1 + \frac{7}{3} - 3}$.
Вычислим показатель степени, приведя к общему знаменателю 3: $1 + \frac{7}{3} - 3 = \frac{3}{3} + \frac{7}{3} - \frac{9}{3} = \frac{3+7-9}{3} = \frac{1}{3}$.
Результат: $2^{\frac{1}{3}}$, что равно $\sqrt[3]{2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{2}$