Номер 11.4, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.4, страница 61.

11.4. a) $(\sqrt{0,6})^{2.7} : (\sqrt{0,6})^{0.7}$;

б) $(\sqrt{1,2})^{4.2} : (\sqrt{1,2})^{0.2}$;

в) $(\sqrt[5]{\frac{1}{3}})^{6.3} : (\sqrt[5]{\frac{1}{3}})^{-3.7}$;

г) $(\sqrt[3]{\frac{2}{7}})^{5.9} : (\sqrt[3]{\frac{2}{7}})^{2.9}$.

а)

В данном выражении $(\sqrt{0,6})^{2,7} : (\sqrt{0,6})^{0,7}$ мы делим степени с одинаковым основанием $\sqrt{0,6}$.

Воспользуемся свойством степеней: при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$).

Получаем:

$(\sqrt{0,6})^{2,7} : (\sqrt{0,6})^{0,7} = (\sqrt{0,6})^{2,7 - 0,7} = (\sqrt{0,6})^2$

Квадратный корень и возведение в квадрат являются взаимообратными операциями, поэтому:

$(\sqrt{0,6})^2 = 0,6$

Ответ: $0,6$

б)

В выражении $(\sqrt{1,2})^{4,2} : (\sqrt{1,2})^{0,2}$ основание степеней одинаковое и равно $\sqrt{1,2}$, а операция - деление.

Применяем правило вычитания показателей степеней при делении:

$(\sqrt{1,2})^{4,2} : (\sqrt{1,2})^{0,2} = (\sqrt{1,2})^{4,2 - 0,2} = (\sqrt{1,2})^4$

Теперь упростим полученное выражение. Можно представить $\sqrt{1,2}$ как $1,2$ в степени $\frac{1}{2}$:

$(\sqrt{1,2})^4 = ((1,2)^{\frac{1}{2}})^4 = (1,2)^{\frac{1}{2} \cdot 4} = (1,2)^2$

Вычислим квадрат $1,2$:

$(1,2)^2 = 1,44$

Ответ: $1,44$

в)

Рассмотрим выражение $(\sqrt[5]{\frac{1}{3}})^{6,3} \cdot (\sqrt[5]{\frac{1}{3}})^{-3,7}$.

В условии задачи указана операция умножения. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$(\sqrt[5]{\frac{1}{3}})^{6,3} \cdot (\sqrt[5]{\frac{1}{3}})^{-3,7} = (\sqrt[5]{\frac{1}{3}})^{6,3 + (-3,7)} = (\sqrt[5]{\frac{1}{3}})^{6,3 - 3,7} = (\sqrt[5]{\frac{1}{3}})^{2,6}$

Данное выражение не упрощается до рационального числа. Вероятно, в условии допущена опечатка, и вместо знака умножения (·) должен стоять знак деления (:), как в остальных примерах этого задания. При таком предположении разность показателей ($6,3 - (-3,7) = 10$) оказывается кратной показателю корня (5), что приводит к простому ответу.

Решим задачу, предположив, что операция — деление:

$(\sqrt[5]{\frac{1}{3}})^{6,3} : (\sqrt[5]{\frac{1}{3}})^{-3,7} = (\sqrt[5]{\frac{1}{3}})^{6,3 - (-3,7)} = (\sqrt[5]{\frac{1}{3}})^{6,3 + 3,7} = (\sqrt[5]{\frac{1}{3}})^{10}$

Упростим результат, используя свойство $(\sqrt[n]{a})^m = a^{\frac{m}{n}}$:

$(\sqrt[5]{\frac{1}{3}})^{10} = (\frac{1}{3})^{\frac{10}{5}} = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

г)

В выражении $(\sqrt[3]{\frac{2}{7}})^{5,9} : (\sqrt[3]{\frac{2}{7}})^{2,9}$ мы снова делим степени с одинаковым основанием $\sqrt[3]{\frac{2}{7}}$.

Вычитаем показатели степеней:

$(\sqrt[3]{\frac{2}{7}})^{5,9} : (\sqrt[3]{\frac{2}{7}})^{2,9} = (\sqrt[3]{\frac{2}{7}})^{5,9 - 2,9} = (\sqrt[3]{\frac{2}{7}})^{3}$

Кубический корень и возведение в третью степень — взаимообратные операции, поэтому:

$(\sqrt[3]{\frac{2}{7}})^{3} = \frac{2}{7}$

Ответ: $\frac{2}{7}$