Номер 11.11, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.11, страница 62.

11.11. Найдите значение аргумента $x$, при котором функция $y = 2^x$ принимает заданное значение:

а) $16$;

б) $8\sqrt{2}$;

в) $\frac{1}{\sqrt{2}}$;

г) $\frac{1}{32\sqrt{2}}$.

а)

Чтобы найти значение аргумента $x$, при котором функция $y = 2^x$ принимает значение $16$, необходимо решить показательное уравнение:
$2^x = 16$.
Представим число $16$ в виде степени с основанием $2$:
$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$.
Теперь уравнение имеет вид:
$2^x = 2^4$.
Поскольку основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны. Следовательно:
$x = 4$.
Ответ: $4$.

б)

Необходимо решить уравнение $2^x = 8\sqrt{2}$.
Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $2$. Для этого воспользуемся свойствами степеней.
Мы знаем, что $8 = 2^3$ и $\sqrt{2} = 2^{1/2}$.
Используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:
$8\sqrt{2} = 2^3 \cdot 2^{1/2} = 2^{3 + 1/2} = 2^{7/2}$.
Теперь уравнение имеет вид:
$2^x = 2^{7/2}$.
Приравнивая показатели степеней, находим $x$:
$x = \frac{7}{2}$.
Ответ: $\frac{7}{2}$.

в)

Необходимо решить уравнение $2^x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $2$.
Знаменатель $\sqrt{2}$ можно записать как $2^{1/2}$.
Используя свойство степени с отрицательным показателем $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$, получаем:
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{1/2}} = 2^{-1/2}$.
Теперь уравнение имеет вид:
$2^x = 2^{-1/2}$.
Приравнивая показатели степеней, находим $x$:
$x = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

г)

Необходимо решить уравнение $2^x = \frac{1}{32\sqrt{2}}$.
Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $2$.
Сначала преобразуем знаменатель $32\sqrt{2}$. Мы знаем, что $32 = 2^5$ и $\sqrt{2} = 2^{1/2}$.
$32\sqrt{2} = 2^5 \cdot 2^{1/2} = 2^{5 + 1/2} = 2^{11/2}$.
Теперь преобразуем всю дробь, используя свойство $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $:
$\frac{1}{32\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{11/2}} = 2^{-11/2}$.
Теперь уравнение имеет вид:
$2^x = 2^{-11/2}$.
Приравнивая показатели степеней, находим $x$:
$x = -\frac{11}{2}$.
Ответ: $-\frac{11}{2}$.