Номер 11.16, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.16, страница 63.

11.16. В одной системе координат схематично изобразите графики функций:

a) $y = 3^x$, $y = 8^x$;

б) $y = \left(\frac{3}{4}\right)^x$, $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$;

в) $y = \left(\sqrt{7}\right)^x$, $y = 5^x$, $y = \left(\sqrt{8}\right)^x$;

г) $y = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^x$, $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$, $y = \left(\frac{1}{8}\right)^x$.

а) $y = 3^x, y = 8^x$

Рассмотрим две показательные функции $y = 3^x$ и $y = 8^x$. Основания этих функций $a_1 = 3$ и $a_2 = 8$. Оба основания больше 1 ($8 > 3 > 1$), следовательно, обе функции являются возрастающими.

Все графики показательных функций вида $y = a^x$ проходят через точку $(0, 1)$, так как при $x=0$ значение любой из этих функций равно $a^0 = 1$.

Сравним поведение функций в зависимости от знака $x$.

• При $x > 0$: для показательной функции с основанием $a > 1$, чем больше основание, тем быстрее функция возрастает. Поскольку $8 > 3$, график функции $y = 8^x$ будет расположен выше графика функции $y = 3^x$. Например, при $x=1$ получаем $y=8$ и $y=3$.
• При $x < 0$: соотношение меняется на противоположное. График функции с большим основанием будет расположен ниже. Таким образом, график $y = 8^x$ будет лежать под графиком $y = 3^x$. Например, при $x=-1$ получаем $y = 8^{-1} = \frac{1}{8}$ и $y = 3^{-1} = \frac{1}{3}$. Так как $\frac{1}{8} < \frac{1}{3}$, график $y=8^x$ ближе к оси абсцисс.

Ось OX ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для обоих графиков при $x \to -\infty$.

Ответ: Для схематического изображения графиков функций $y = 3^x$ и $y = 8^x$ в одной системе координат необходимо:
1. Нарисовать оси координат и отметить точку $(0, 1)$, через которую проходят оба графика.
2. Справа от оси OY (при $x > 0$) оба графика возрастают. График $y = 8^x$ поднимается вверх круче и лежит выше графика $y = 3^x$.
3. Слева от оси OY (при $x < 0$) оба графика приближаются к оси OX. График $y = 8^x$ расположен ниже графика $y = 3^x$ и, соответственно, ближе к оси OX.

б) $y = \left(\frac{3}{4}\right)^x, y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$

Рассмотрим функции $y = (\frac{3}{4})^x$ и $y = (\frac{1}{2})^x$. Основания $a_1 = \frac{3}{4} = 0.75$ и $a_2 = \frac{1}{2} = 0.5$. Оба основания находятся в интервале $(0, 1)$, следовательно, обе функции являются убывающими.

Оба графика проходят через общую точку $(0, 1)$. Сравним основания: $0 < \frac{1}{2} < \frac{3}{4} < 1$.

Сравним поведение функций:

• При $x > 0$: для функций с основанием $0 < a < 1$, чем меньше основание, тем быстрее функция убывает. Поскольку $\frac{1}{2} < \frac{3}{4}$, график $y = (\frac{1}{2})^x$ будет убывать быстрее и будет расположен ниже графика $y = (\frac{3}{4})^x$.
• При $x < 0$: соотношение обратное. График функции с меньшим основанием будет расположен выше. Таким образом, график $y = (\frac{1}{2})^x$ будет лежать над графиком $y = (\frac{3}{4})^x$. Например, при $x=-1$ получаем $y = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$ и $y = (\frac{3}{4})^{-1} = \frac{4}{3}$. Так как $2 > \frac{4}{3}$, график $y=(\frac{1}{2})^x$ выше.

Ось OX ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для обоих графиков при $x \to +\infty$.

Ответ: Для схематического изображения графиков функций $y = (\frac{3}{4})^x$ и $y = (\frac{1}{2})^x$ необходимо:
1. Нарисовать оси координат и отметить общую точку $(0, 1)$.
2. Справа от оси OY (при $x > 0$) оба графика убывают, приближаясь к оси OX. График $y = (\frac{1}{2})^x$ лежит ниже графика $y = (\frac{3}{4})^x$.
3. Слева от оси OY (при $x < 0$) оба графика уходят вверх. График $y = (\frac{1}{2})^x$ лежит выше графика $y = (\frac{3}{4})^x$.

в) $y = (\sqrt{7})^x, y = 5^x, y = (\sqrt{8})^x$

Рассмотрим три функции $y = (\sqrt{7})^x$, $y = 5^x$ и $y = (\sqrt{8})^x$. Все основания больше 1, значит, все функции возрастающие. Все графики проходят через точку $(0, 1)$.

Сравним основания. Для этого возведем их в квадрат: $(\sqrt{7})^2 = 7$, $5^2 = 25$, $(\sqrt{8})^2 = 8$. Так как $7 < 8 < 25$, то в том же порядке располагаются и сами основания: $\sqrt{7} < \sqrt{8} < 5$.

Поведение графиков:

• При $x > 0$: чем больше основание ($a>1$), тем выше расположен график. Следовательно, графики располагаются снизу вверх в следующем порядке: $y=(\sqrt{7})^x$, $y=(\sqrt{8})^x$, $y=5^x$.
• При $x < 0$: порядок обратный. Графики располагаются снизу вверх (от оси OX) в следующем порядке: $y=5^x$, $y=(\sqrt{8})^x$, $y=(\sqrt{7})^x$.

Ответ: Для схематического изображения:
1. Нарисуйте оси координат и точку $(0, 1)$, общую для всех трех графиков.
2. При $x > 0$ все три графика возрастают. График $y=5^x$ является самым крутым, за ним следует $y=(\sqrt{8})^x$, и самым пологим является $y=(\sqrt{7})^x$.
3. При $x < 0$ все три графика приближаются к оси OX. Ближе всего к оси OX расположен график $y=5^x$, дальше — $y=(\sqrt{8})^x$, и выше всех — $y=(\sqrt{7})^x$.

г) $y = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^x, y = \left(\frac{1}{2}\right)^x, y = \left(\frac{1}{8}\right)^x$

Рассмотрим функции $y = (\frac{1}{\sqrt{2}})^x$, $y = (\frac{1}{2})^x$ и $y = (\frac{1}{8})^x$. Все основания находятся в интервале $(0, 1)$, значит, все функции убывающие. Все графики проходят через точку $(0, 1)$.

Сравним основания. Для этого сравним их знаменатели: $\sqrt{2} \approx 1.414$, $2$, $8$. Очевидно, что $\sqrt{2} < 2 < 8$. Для дробей с одинаковым числителем (равным 1) порядок будет обратным: $\frac{1}{8} < \frac{1}{2} < \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Поведение графиков:

• При $x > 0$: чем меньше основание ($0 < a < 1$), тем быстрее убывает функция и тем ниже расположен ее график. Таким образом, графики располагаются снизу вверх в порядке: $y=(\frac{1}{8})^x$, $y=(\frac{1}{2})^x$, $y=(\frac{1}{\sqrt{2}})^x$.
• При $x < 0$: порядок обратный. Графики располагаются снизу вверх в порядке: $y=(\frac{1}{\sqrt{2}})^x$, $y=(\frac{1}{2})^x$, $y=(\frac{1}{8})^x$.

Ответ: Для схематического изображения:
1. Нарисуйте оси координат и общую точку $(0, 1)$.
2. При $x > 0$ все три графика убывают и приближаются к оси OX. Самый нижний график (убывает быстрее всех) — $y=(\frac{1}{8})^x$. Выше него — $y=(\frac{1}{2})^x$. Самый верхний (убывает медленнее всех) — $y=(\frac{1}{\sqrt{2}})^x$.
3. При $x < 0$ графики уходят вверх. Самый высокий — $y=(\frac{1}{8})^x$, под ним — $y=(\frac{1}{2})^x$, и самый нижний — $y=(\frac{1}{\sqrt{2}})^x$.