Номер 11.22, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.22, страница 64.

11.22. Сравните числа:

а) $1,3^{34}$ и $1,3^{40}$;

б) $(\frac{7}{9})^{16,2}$ и $(\frac{7}{9})^{-3}$;

в) $12,1^{\sqrt{3}}$ и $12,1^{\sqrt{5}}$;

г) $(0,65)^{-\sqrt{2}}$ и $(0,65)^{\frac{1}{2}}$.

а) Для сравнения чисел $1,3^{34}$ и $1,3^{40}$ используется свойство показательной функции $y = a^x$. В данном случае основание $a = 1,3$. Поскольку $a > 1$, функция является возрастающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из того, что $x_1 < x_2$, следует $a^{x_1} < a^{x_2}$. Сравним показатели степеней: $34 < 40$. Следовательно, при возрастающей функции с основанием $1,3$ получаем, что $1,3^{34} < 1,3^{40}$.
Ответ: $1,3^{34} < 1,3^{40}$.

б) Для сравнения чисел $(\frac{7}{9})^{16,2}$ и $(\frac{7}{9})^{-3}$ рассмотрим показательную функцию $y = (\frac{7}{9})^x$. Основание степени $a = \frac{7}{9}$. Поскольку $0 < a < 1$, функция является убывающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из того, что $x_1 < x_2$, следует $a^{x_1} > a^{x_2}$. Сравним показатели степеней: $16,2 > -3$. Так как функция убывающая, большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $(\frac{7}{9})^{16,2} < (\frac{7}{9})^{-3}$.
Ответ: $(\frac{7}{9})^{16,2} < (\frac{7}{9})^{-3}$.

в) Для сравнения чисел $12,1^{\sqrt{3}}$ и $12,1^{\sqrt{5}}$ рассмотрим показательную функцию $y = 12,1^x$. Основание степени $a = 12,1$. Поскольку $a > 1$, функция является возрастающей. Сравним показатели степеней: $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$. Так как $3 < 5$, то и $\sqrt{3} < \sqrt{5}$. Поскольку функция возрастающая, большему значению показателя степени соответствует большее значение функции. Следовательно, $12,1^{\sqrt{3}} < 12,1^{\sqrt{5}}$.
Ответ: $12,1^{\sqrt{3}} < 12,1^{\sqrt{5}}$.

г) Для сравнения чисел $(0,65)^{-\sqrt{2}}$ и $(0,65)^{\frac{1}{2}}$ рассмотрим показательную функцию $y = (0,65)^x$. Основание степени $a = 0,65$. Поскольку $0 < a < 1$, функция является убывающей. Сравним показатели степеней: $-\sqrt{2}$ и $\frac{1}{2}$. Так как $-\sqrt{2}$ — отрицательное число (приблизительно $-1,41$), а $\frac{1}{2} = 0,5$ — положительное, то $-\sqrt{2} < \frac{1}{2}$. Поскольку функция убывающая, меньшему значению показателя степени соответствует большее значение функции. Следовательно, $(0,65)^{-\sqrt{2}} > (0,65)^{\frac{1}{2}}$.
Ответ: $(0,65)^{-\sqrt{2}} > (0,65)^{\frac{1}{2}}$.