Номер 11.29, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.29, страница 65.

11.29. a) $y = -3 \cdot 12^x$;

б) $y = \frac{1}{(0.5)^x + 1}$;

в) $y = -9 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^x$;

г) $y = -\frac{3}{4 + 2^x}$.

а) $y = -3 \cdot 12^x$

Для нахождения области значений функции проанализируем ее составляющие.
1. Выражение $12^x$ — это показательная функция с основанием $a=12$, где $a > 1$. Область значений такой функции — все положительные числа, то есть $12^x > 0$ для любого действительного $x$.
2. Данная функция представляет собой произведение выражения $12^x$ на отрицательный коэффициент $-3$.
3. Так как $12^x > 0$, то при умножении этого выражения на $-3$ мы получим отрицательное число.
Математически это можно записать так:
$12^x \in (0; +\infty)$
$-3 \cdot 12^x \in (-\infty; 0)$
Следовательно, область значений функции $y$ — это все отрицательные числа.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 0)$

б) $y = \frac{1}{(0,5)^x + 1}$

Найдем область значений знаменателя.
1. Выражение $(0,5)^x$ — это показательная функция с основанием $a=0,5$, где $0 < a < 1$. Область значений этой функции — все положительные числа: $(0,5)^x > 0$.
2. Знаменатель дроби равен $(0,5)^x + 1$. Так как $(0,5)^x > 0$, то, прибавив 1, получим:
$(0,5)^x + 1 > 0 + 1$
$(0,5)^x + 1 > 1$
Таким образом, знаменатель всегда строго больше 1.
3. Теперь рассмотрим всю дробь $y = \frac{1}{(0,5)^x + 1}$. Пусть $t = (0,5)^x + 1$, тогда $t \in (1; +\infty)$. Нам нужно найти область значений функции $y = \frac{1}{t}$ при $t > 1$.
- Когда знаменатель $t$ стремится к $1$ (например, при $x \to +\infty$), значение дроби $y$ стремится к $\frac{1}{1} = 1$.
- Когда знаменатель $t$ стремится к $+\infty$ (например, при $x \to -\infty$), значение дроби $y$ стремится к $0$.
Так как знаменатель строго больше 1, значение дроби будет строго меньше 1 и строго больше 0.

Ответ: $E(y) = (0; 1)$

в) $y = -9 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^x$

Решение аналогично пункту а).
1. Выражение $\left(\frac{3}{4}\right)^x$ — это показательная функция с основанием $a=\frac{3}{4}$, где $0 < a < 1$. Область значений такой функции — все положительные числа: $\left(\frac{3}{4}\right)^x > 0$.
2. Функция умножается на отрицательный коэффициент $-9$.
3. Так как $\left(\frac{3}{4}\right)^x > 0$, то при умножении на $-9$ результат всегда будет отрицательным:
$-9 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^x < 0$
Следовательно, область значений функции $y$ — это все отрицательные числа.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 0)$

г) $y = -\frac{3}{4 + 2^x}$

Проанализируем функцию по частям.
1. Найдем область значений знаменателя $4 + 2^x$. Показательная функция $2^x$ принимает только положительные значения: $2^x > 0$.
2. Прибавим 4 к обеим частям неравенства:
$2^x + 4 > 0 + 4$
$4 + 2^x > 4$
Значит, знаменатель всегда строго больше 4.
3. Теперь рассмотрим дробь $\frac{3}{4 + 2^x}$. Так как знаменатель $4 + 2^x > 4$, то для обратной величины выполняется неравенство:
$0 < \frac{1}{4 + 2^x} < \frac{1}{4}$
Умножим на 3:
$0 < \frac{3}{4 + 2^x} < \frac{3}{4}$
4. Исходная функция имеет знак минус перед дробью: $y = - \frac{3}{4 + 2^x}$. Умножим полученное двойное неравенство на $-1$, не забывая поменять знаки неравенства на противоположные:
$-0 > - \frac{3}{4 + 2^x} > -\frac{3}{4}$
$0 > y > -\frac{3}{4}$
Запишем в привычном порядке:
$-\frac{3}{4} < y < 0$

Ответ: $E(y) = \left(-\frac{3}{4}; 0\right)$