Номер 11.35, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.35, страница 66.

11.35. а) $y = 3^{x-1} + 8, [-3; 1];$

б) $y = 5 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^x + 4, [-1; 2];$

в) $y = 7^{x-2} + 9, [0; 2];$

г) $y = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x + 13, [-2; 3].$

а) Рассмотрим функцию $y = 3^{x-1} + 8$ на отрезке $[-3; 1]$. Так как основание степени $3 > 1$, а показатель $x-1$ — возрастающая функция, то и вся функция $y = 3^{x-1} + 8$ является возрастающей на данном отрезке. Следовательно, свое наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.
Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-3) = 3^{-3-1} + 8 = 3^{-4} + 8 = \frac{1}{81} + 8 = 8\frac{1}{81}$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(1) = 3^{1-1} + 8 = 3^0 + 8 = 1 + 8 = 9$.
Ответ: $y_{наим} = 8\frac{1}{81}$, $y_{наиб} = 9$.

б) Рассмотрим функцию $y = 5 \cdot (\frac{3}{5})^x + 4$ на отрезке $[-1; 2]$. Так как основание степени $a = \frac{3}{5}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция $y = (\frac{3}{5})^x$ является убывающей. Умножение на положительное число $5$ и сложение с числом $4$ не изменяют характер монотонности, поэтому вся функция убывает. Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.
Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-1) = 5 \cdot (\frac{3}{5})^{-1} + 4 = 5 \cdot \frac{5}{3} + 4 = \frac{25}{3} + 4 = 8\frac{1}{3} + 4 = 12\frac{1}{3}$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(2) = 5 \cdot (\frac{3}{5})^2 + 4 = 5 \cdot \frac{9}{25} + 4 = \frac{9}{5} + 4 = 1,8 + 4 = 5,8$.
Ответ: $y_{наим} = 5,8$, $y_{наиб} = 12\frac{1}{3}$.

в) Рассмотрим функцию $y = 7^{x-2} + 9$ на отрезке $[0; 2]$. Так как основание степени $7 > 1$, а показатель $x-2$ — возрастающая функция, то и вся функция $y = 7^{x-2} + 9$ является возрастающей на данном отрезке. Следовательно, свое наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.
Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = 7^{0-2} + 9 = 7^{-2} + 9 = \frac{1}{49} + 9 = 9\frac{1}{49}$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(2) = 7^{2-2} + 9 = 7^0 + 9 = 1 + 9 = 10$.
Ответ: $y_{наим} = 9\frac{1}{49}$, $y_{наиб} = 10$.

г) Рассмотрим функцию $y = 4 \cdot (\frac{1}{2})^x + 13$ на отрезке $[-2; 3]$. Так как основание степени $a = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция $y = (\frac{1}{2})^x$ является убывающей. Умножение на положительное число $4$ и сложение с числом $13$ не изменяют характер монотонности, поэтому вся функция убывает. Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.
Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-2) = 4 \cdot (\frac{1}{2})^{-2} + 13 = 4 \cdot 2^2 + 13 = 4 \cdot 4 + 13 = 16 + 13 = 29$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(3) = 4 \cdot (\frac{1}{2})^3 + 13 = 4 \cdot \frac{1}{8} + 13 = \frac{1}{2} + 13 = 13,5$.
Ответ: $y_{наим} = 13,5$, $y_{наиб} = 29$.