Номер 11.37, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.37, страница 66.

11.37. На каком отрезке функция $y = 2^x$ принимает:

а) наибольшее значение, равное 32, и наименьшее, равное $\frac{1}{2}$;

б) наибольшее значение, равное $\frac{1}{8}$, и наименьшее, равное $\frac{1}{128}$?

а) Дана функция $y = 2^x$. Поскольку основание степени $a=2$ больше 1, эта показательная функция является строго возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что на любом отрезке $[x_1; x_2]$ наименьшее значение функция принимает в левой точке отрезка ($x_1$), а наибольшее — в правой ($x_2$).

По условию, наименьшее значение функции равно $\frac{1}{2}$, а наибольшее равно $32$. Нам нужно найти концы отрезка $x_1$ и $x_2$.

Найдем $x_1$, при котором достигается наименьшее значение:$y_{min} = 2^{x_1} = \frac{1}{2}$.Так как $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, то уравнение принимает вид:$2^{x_1} = 2^{-1}$.Отсюда следует, что $x_1 = -1$.

Найдем $x_2$, при котором достигается наибольшее значение:$y_{max} = 2^{x_2} = 32$.Так как $32 = 2^5$, то уравнение принимает вид:$2^{x_2} = 2^5$.Отсюда следует, что $x_2 = 5$.

Таким образом, искомый отрезок, на котором функция $y = 2^x$ принимает наименьшее значение $\frac{1}{2}$ и наибольшее $32$, это отрезок $[-1; 5]$.Ответ: $[-1; 5]$

б) Аналогично пункту а), мы используем свойство возрастания функции $y = 2^x$.

По условию, наименьшее значение функции равно $\frac{1}{128}$, а наибольшее равно $\frac{1}{8}$.

Найдем левую границу отрезка $x_1$, соответствующую наименьшему значению:$y_{min} = 2^{x_1} = \frac{1}{128}$.Так как $128 = 2^7$, то $\frac{1}{128} = 2^{-7}$. Уравнение принимает вид:$2^{x_1} = 2^{-7}$.Отсюда $x_1 = -7$.

Найдем правую границу отрезка $x_2$, соответствующую наибольшему значению:$y_{max} = 2^{x_2} = \frac{1}{8}$.Так как $8 = 2^3$, то $\frac{1}{8} = 2^{-3}$. Уравнение принимает вид:$2^{x_2} = 2^{-3}$.Отсюда $x_2 = -3$.

Следовательно, искомый отрезок — это $[-7; -3]$.Ответ: $[-7; -3]$