Номер 11.43, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.43, страница 67.

11.43. a) $y = \frac{x + 1}{\sqrt{3^x - 27}}$;

Б) $y = \frac{2x + 4}{\sqrt{0,6^x - 0,36}} \text{;}$

В) $y = \frac{3^x + 3}{3^{2x} - 9}$;

Г) $y = \frac{\sqrt{5^x} - 5}{5^x - 25}$.

а) Область определения функции $y = \frac{x + 1}{\sqrt{3^x - 27}}$ находится из условия, что выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля, так как на ноль делить нельзя и извлекать корень из отрицательного числа в области действительных чисел тоже нельзя.

Решим неравенство:

$3^x - 27 > 0$

Перенесем 27 в правую часть:

$3^x > 27$

Представим 27 как степень числа 3: $27 = 3^3$.

$3^x > 3^3$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, мы можем сравнить показатели, сохранив знак неравенства:

$x > 3$

Таким образом, область определения функции – это интервал от 3 до плюс бесконечности.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

б) Область определения функции $y = \frac{2x + 4}{\sqrt{0,6^x - 0,36}}$ находится из условия, что подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным.

Решим неравенство:

$0,6^x - 0,36 > 0$

Перенесем 0,36 в правую часть:

$0,6^x > 0,36$

Представим 0,36 как степень числа 0,6: $0,36 = (0,6)^2$.

$0,6^x > (0,6)^2$

Так как основание степени $0 < 0,6 < 1$, показательная функция является убывающей. Следовательно, при сравнении показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 2$

Таким образом, область определения функции – это интервал от минус бесконечности до 2.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

в) Область определения функции $y = \frac{3^x + 3}{3^{2x} - 9}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$3^{2x} - 9 = 0$

$3^{2x} = 9$

Представим 9 как степень числа 3: $9 = 3^2$.

$3^{2x} = 3^2$

Так как основания степеней равны, приравниваем показатели:

$2x = 2$

$x = 1$

Таким образом, $x$ не может быть равен 1. Область определения функции – это все действительные числа, кроме 1.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

г) Для функции $y = \frac{\sqrt{5^x} - 5}{5^x - 25}$ необходимо выполнение двух условий: выражение под корнем должно быть неотрицательным, и знаменатель не должен равняться нулю.

1. Условие для подкоренного выражения: $5^x \ge 0$. Показательная функция $a^x$ с основанием $a>0$ всегда положительна ($a^x > 0$), поэтому это условие выполняется для любого действительного числа $x$.

2. Условие для знаменателя: $5^x - 25 \neq 0$.

Найдем значения $x$, которые нужно исключить:

$5^x - 25 = 0$

$5^x = 25$

Представим 25 как степень числа 5: $25 = 5^2$.

$5^x = 5^2$

Приравниваем показатели:

$x = 2$

Объединяя оба условия, получаем, что область определения функции – это все действительные числа, кроме 2.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.