Номер 11.47, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.47, страница 68.

11.47. а) $y = \frac{0,5^x - 9}{\sqrt{0,5^x} + 3};$

б) $y = \frac{216^x - 8}{36^x + 2 \cdot 6^x + 4};$

в) $y = \frac{1,21^x - 4}{\sqrt{1,21^x} - 2};$

г) $y = \frac{64^x + 1}{16^x - 4^x + 1}.$

а)

Дана функция $y = \frac{0,5^x - 9}{\sqrt{0,5^x} + 3}$.

Для упрощения этого выражения заметим, что числитель является разностью квадратов. Представим $0,5^x$ как $(\sqrt{0,5^x})^2$ и $9$ как $3^2$.

Тогда числитель можно переписать в виде: $0,5^x - 9 = (\sqrt{0,5^x})^2 - 3^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = \sqrt{0,5^x}$ и $b = 3$.

Получаем: $(\sqrt{0,5^x})^2 - 3^2 = (\sqrt{0,5^x} - 3)(\sqrt{0,5^x} + 3)$.

Теперь подставим это выражение обратно в исходную функцию:

$y = \frac{(\sqrt{0,5^x} - 3)(\sqrt{0,5^x} + 3)}{\sqrt{0,5^x} + 3}$

Так как $\sqrt{0,5^x} \ge 0$, знаменатель $\sqrt{0,5^x} + 3$ всегда строго положителен и не равен нулю. Следовательно, мы можем сократить дробь на общий множитель $(\sqrt{0,5^x} + 3)$.

В результате упрощения получаем:

$y = \sqrt{0,5^x} - 3$

Ответ: $y = \sqrt{0,5^x} - 3$.

б)

Дана функция $y = \frac{216^x - 8}{36^x + 2 \cdot 6^x + 4}$.

Чтобы упростить выражение, представим числа в основаниях степеней через общее основание $6$. Мы знаем, что $216 = 6^3$, $36 = 6^2$ и $8 = 2^3$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, перепишем функцию:

$y = \frac{(6^3)^x - 2^3}{(6^2)^x + 2 \cdot 6^x + 4} = \frac{(6^x)^3 - 2^3}{(6^x)^2 + 2 \cdot 6^x + 4}$

Числитель представляет собой разность кубов. Применим формулу $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = 6^x$ и $b = 2$.

Получаем: $(6^x)^3 - 2^3 = (6^x - 2)((6^x)^2 + 6^x \cdot 2 + 2^2) = (6^x - 2)(36^x + 2 \cdot 6^x + 4)$.

Подставим полученное выражение в исходную функцию:

$y = \frac{(6^x - 2)(36^x + 2 \cdot 6^x + 4)}{36^x + 2 \cdot 6^x + 4}$

Выражение в знаменателе, $36^x + 2 \cdot 6^x + 4$, является неполным квадратом суммы и всегда положительно. Следовательно, мы можем сократить дробь на этот общий множитель.

В результате получаем:

$y = 6^x - 2$

Ответ: $y = 6^x - 2$.

в)

Дана функция $y = \frac{1,21^x - 4}{\sqrt{1,21^x} - 2}$.

Для упрощения заметим, что числитель можно представить как разность квадратов, так как $1,21^x = (\sqrt{1,21^x})^2$ и $4 = 2^2$.

Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = \sqrt{1,21^x}$ и $b = 2$.

$1,21^x - 4 = (\sqrt{1,21^x} - 2)(\sqrt{1,21^x} + 2)$.

Подставим это в исходное выражение:

$y = \frac{(\sqrt{1,21^x} - 2)(\sqrt{1,21^x} + 2)}{\sqrt{1,21^x} - 2}$

Сократив дробь на общий множитель $(\sqrt{1,21^x} - 2)$ (при условии, что он не равен нулю), получим:

$y = \sqrt{1,21^x} + 2$.

Далее, упростим выражение $\sqrt{1,21^x}$. Так как $1,21 = 1,1^2$, имеем: $\sqrt{1,21^x} = \sqrt{(1,1^2)^x} = \sqrt{(1,1^x)^2} = 1,1^x$ (поскольку $1,1^x$ всегда положительно).

Окончательный вид функции:

$y = 1,1^x + 2$

Ответ: $y = 1,1^x + 2$.

г)

Дана функция $y = \frac{64^x + 1}{16^x - 4^x + 1}$.

Представим числа в основаниях степеней через общее основание $4$. Мы знаем, что $64 = 4^3$ и $16 = 4^2$.

Перепишем функцию, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$y = \frac{(4^3)^x + 1^3}{(4^2)^x - 4^x + 1} = \frac{(4^x)^3 + 1^3}{(4^x)^2 - 4^x + 1}$

Числитель представляет собой сумму кубов. Применим формулу $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = 4^x$ и $b = 1$.

Получаем: $(4^x)^3 + 1^3 = (4^x + 1)((4^x)^2 - 4^x \cdot 1 + 1^2) = (4^x + 1)(16^x - 4^x + 1)$.

Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = \frac{(4^x + 1)(16^x - 4^x + 1)}{16^x - 4^x + 1}$

Знаменатель $16^x - 4^x + 1$ является неполным квадратом разности и всегда положителен. Следовательно, мы можем сократить дробь на этот общий множитель.

В результате получаем:

$y = 4^x + 1$

Ответ: $y = 4^x + 1$.