Номер 11.54, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.54, страница 69.

11.54. Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} \left(\frac{1}{4}\right)^x, & \text{если } x \le 0, \\ \cos x, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

а) Вычислите $f(-3); f(-2); f\left(-\frac{3}{2}\right); f(0); f\left(\frac{\pi}{4}\right); f\left(\frac{3}{2}\pi\right).$

б) Постройте и прочитайте график функции $y = f(x)$.

а)

Для вычисления значений функции $f(x)$ необходимо определить, какую из двух формул нужно использовать в зависимости от значения аргумента $x$. Если $x \le 0$, используется формула $f(x) = (\frac{1}{4})^x$. Если $x > 0$, используется формула $f(x) = \cos x$.

• Вычислим $f(-3)$. Так как $-3 \le 0$, используем первую формулу: $f(-3) = \left(\frac{1}{4}\right)^{-3} = 4^3 = 64$.

• Вычислим $f(-2)$. Так как $-2 \le 0$, используем первую формулу: $f(-2) = \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = 4^2 = 16$.

• Вычислим $f(-\frac{3}{2})$. Так как $-\frac{3}{2} \le 0$, используем первую формулу: $f\left(-\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}} = 4^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$.

• Вычислим $f(0)$. Так как $0 \le 0$, используем первую формулу: $f(0) = \left(\frac{1}{4}\right)^0 = 1$.

• Вычислим $f(\frac{\pi}{4})$. Так как $\frac{\pi}{4} > 0$, используем вторую формулу: $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

• Вычислим $f(\frac{3}{2}\pi)$. Так как $\frac{3}{2}\pi > 0$, используем вторую формулу: $f\left(\frac{3}{2}\pi\right) = \cos\left(\frac{3}{2}\pi\right) = 0$.

Ответ: $f(-3) = 64$; $f(-2) = 16$; $f(-\frac{3}{2}) = 8$; $f(0) = 1$; $f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$; $f(\frac{3}{2}\pi) = 0$.

б)

График функции $y=f(x)$ состоит из двух частей:

1. При $x \le 0$ это график показательной функции $y = (\frac{1}{4})^x$. Это убывающая кривая, проходящая через точки $(-2, 16)$, $(-1, 4)$, $(0, 1)$. При $x \to -\infty$, $y \to +\infty$.

2. При $x > 0$ это график функции $y = \cos x$. Это стандартная косинусоида, осциллирующая между $-1$ и $1$.

Функция непрерывна в точке $x=0$, так как $f(0)=1$ и предел функции справа $\lim_{x \to 0^+} \cos x = 1$. Таким образом, в точке $(0, 1)$ график показательной функции плавно переходит в график косинуса.

Свойства функции (чтение графика):

• Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

• Область значений: $E(f) = [-1; +\infty)$. Наименьшее значение функции равно $-1$, наибольшего значения не существует.

• Четность/нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее график не симметричен ни относительно оси $Oy$, ни относительно начала координат. Например, $f(\pi) = -1$, а $f(-\pi) = 4^\pi$.

• Нули функции: $f(x) = 0$ при $\cos x = 0$ и $x > 0$. Это происходит в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ - любое целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, \dots$).

• Промежутки знакопостоянства:

  • $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}) \cup \dots$

  • $f(x) < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}) \cup (\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}) \cup \dots$

• Промежутки монотонности:

  • Функция убывает на промежутках $(-\infty, \pi]$, $[2\pi, 3\pi]$, $[4\pi, 5\pi], \dots$

  • Функция возрастает на промежутках $[\pi, 2\pi]$, $[3\pi, 4\pi]$, $[5\pi, 6\pi], \dots$

• Точки экстремума и экстремумы:

  • Точки минимума: $x = \pi, 3\pi, 5\pi, \dots$ (или $x = \pi + 2k\pi$, где $k \ge 0$ целое). Значение в этих точках (локальные и глобальные минимумы) равно $y_{min} = -1$.

  • Точки локального максимума: $x = 2\pi, 4\pi, 6\pi, \dots$ (или $x = 2k\pi$, где $k \ge 1$ целое). Значение в этих точках (локальные максимумы) равно $y_{max} = 1$.

  • Глобального максимума у функции нет.

Ответ: График функции представляет собой кривую показательной функции $y = (\frac{1}{4})^x$ для $x \le 0$, которая в точке $(0, 1)$ переходит в график косинусоиды $y = \cos x$ для $x > 0$. Основные свойства: $D(f) = (-\infty; +\infty)$, $E(f) = [-1; +\infty)$, функция непрерывна, общего вида, имеет нули в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$. Глобальный минимум $y_{min}=-1$ достигается в точках $x = \pi + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$. Глобального максимума нет.