Номер 11.48, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.48, страница 68.

Постройте график функции:

11.48. a) $y = 2^x + 1;$

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 2;$

в) $y = 4^x - 1;$

г) $y = (0,1)^x + 2.$

а) $y = 2^x + 1$

Для построения графика функции $y = 2^x + 1$ воспользуемся методом преобразования графиков. Исходный график — это график показательной функции $y_0 = 2^x$.

1. Строим график базовой функции $y = 2^x$.
Это показательная функция с основанием $a=2$, где $a > 1$, следовательно, функция является возрастающей. Её график проходит через точку $(0; 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось абсцисс).
Составим таблицу значений для $y=2^x$:
$x = -2 \implies y = 2^{-2} = 1/4 = 0.25$
$x = -1 \implies y = 2^{-1} = 1/2 = 0.5$
$x = 0 \implies y = 2^0 = 1$
$x = 1 \implies y = 2^1 = 2$
$x = 2 \implies y = 2^2 = 4$

2. Выполняем преобразование.
График функции $y = 2^x + 1$ получается из графика $y = 2^x$ путем параллельного переноса (сдвига) на 1 единицу вверх вдоль оси OY. Это означает, что каждая точка графика $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0, y_0 + 1)$.
Горизонтальная асимптота $y=0$ также сдвигается на 1 единицу вверх и становится прямой $y=1$.

3. Находим точки и строим итоговый график.
Используем точки для $y=2^x$ и прибавим 1 к их ординатам:
$(-2; 1.25)$, $(-1; 1.5)$, $(0; 2)$, $(1; 3)$, $(2; 5)$.
Проводим через эти точки плавную кривую, которая при $x \to -\infty$ приближается к асимптоте $y=1$.

Ответ: График функции $y = 2^x + 1$ — это экспоненциальная кривая, полученная сдвигом графика $y=2^x$ на 1 единицу вверх. Функция возрастает, её область значений — $(1; +\infty)$, горизонтальная асимптота — $y=1$. График проходит через точку $(0; 2)$.

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 2$

График функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 2$ строится на основе графика базовой функции $y_0 = \left(\frac{1}{3}\right)^x$.

1. Строим график базовой функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$.
Это показательная функция с основанием $a=\frac{1}{3}$, где $0 < a < 1$, следовательно, функция является убывающей. График проходит через точку $(0; 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$.
Таблица значений для $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$:
$x = -2 \implies y = (\frac{1}{3})^{-2} = 9$
$x = -1 \implies y = (\frac{1}{3})^{-1} = 3$
$x = 0 \implies y = (\frac{1}{3})^0 = 1$
$x = 1 \implies y = (\frac{1}{3})^1 = 1/3 \approx 0.33$

2. Выполняем преобразование.
График функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 2$ получается из графика $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ сдвигом на 2 единицы вниз вдоль оси OY. Каждая точка $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0, y_0 - 2)$.
Горизонтальная асимптота $y=0$ сдвигается на 2 единицы вниз и становится прямой $y=-2$.

3. Находим точки и строим итоговый график.
Вычитаем 2 из ординат точек базового графика:
$(-2; 7)$, $(-1; 1)$, $(0; -1)$, $(1; -1\frac{2}{3})$.
Проводим через эти точки плавную кривую, которая при $x \to +\infty$ приближается к асимптоте $y=-2$.

Ответ: График функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 2$ — это экспоненциальная кривая, полученная сдвигом графика $y=\left(\frac{1}{3}\right)^x$ на 2 единицы вниз. Функция убывает, её область значений — $(-2; +\infty)$, горизонтальная асимптота — $y=-2$. График проходит через точки $(0; -1)$ и $(-1; 1)$.

в) $y = 4^x - 1$

График функции $y = 4^x - 1$ строится путем преобразования графика базовой функции $y_0 = 4^x$.

1. Строим график базовой функции $y = 4^x$.
Это показательная функция с основанием $a=4$, где $a > 1$, значит, она возрастающая. График проходит через точку $(0; 1)$, асимптота — $y=0$.
Таблица значений для $y=4^x$:
$x = -1 \implies y = 4^{-1} = 0.25$
$x = 0 \implies y = 4^0 = 1$
$x = 1 \implies y = 4^1 = 4$
$x = 1.5 \implies y = 4^{1.5} = 4\sqrt{4} = 8$

2. Выполняем преобразование.
График функции $y = 4^x - 1$ получается из графика $y = 4^x$ сдвигом на 1 единицу вниз вдоль оси OY. Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается к $y=-1$.

3. Находим точки и строим итоговый график.
Вычитаем 1 из ординат точек базового графика:
$(-1; -0.75)$, $(0; 0)$, $(1; 3)$, $(1.5; 7)$.
График проходит через начало координат. Проводим плавную кривую, приближающуюся к асимптоте $y=-1$ при $x \to -\infty$.

Ответ: График функции $y = 4^x - 1$ — это экспоненциальная кривая, полученная сдвигом графика $y=4^x$ на 1 единицу вниз. Функция возрастает, её область значений — $(-1; +\infty)$, горизонтальная асимптота — $y=-1$. График проходит через начало координат $(0; 0)$.

г) $y = (0,1)^x + 2$

График функции $y = (0.1)^x + 2$ строится на основе графика базовой функции $y_0 = (0.1)^x$.

1. Строим график базовой функции $y = (0.1)^x$.
Это показательная функция с основанием $a=0.1$, где $0 < a < 1$, поэтому функция убывающая. График проходит через точку $(0; 1)$, асимптота — $y=0$.
Таблица значений для $y = (0.1)^x$:
$x = -1 \implies y = (0.1)^{-1} = 10$
$x = 0 \implies y = (0.1)^0 = 1$
$x = 1 \implies y = (0.1)^1 = 0.1$

2. Выполняем преобразование.
График функции $y = (0.1)^x + 2$ получается из графика $y = (0.1)^x$ сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси OY. Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается к $y=2$.

3. Находим точки и строим итоговый график.
Прибавляем 2 к ординатам точек базового графика:
$(-1; 12)$, $(0; 3)$, $(1; 2.1)$.
Проводим через эти точки плавную кривую, которая при $x \to +\infty$ приближается к асимптоте $y=2$.

Ответ: График функции $y = (0.1)^x + 2$ — это экспоненциальная кривая, полученная сдвигом графика $y=(0.1)^x$ на 2 единицы вверх. Функция убывает, её область значений — $(2; +\infty)$, горизонтальная асимптота — $y=2$. График проходит через точку $(0; 3)$.