Номер 11.52, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.52, страница 69.

11.52. Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 4^x, \text{ если } x < 1, \\ -x^2 + 1, \text{ если } x \ge 1. \end{cases}$

а) Вычислите $f(-3); f(-2,5); f(0); f(1); f(2)$.

б) Постройте и прочитайте график функции $y = f(x)$.

а)

Для вычисления значений функции $f(x)$ в заданных точках, необходимо определить, по какой из двух формул производится расчет, в зависимости от того, какому промежутку принадлежит аргумент $x$.

- Для $x = -3$: так как $-3 < 1$, используется формула $f(x) = 4^x$.
$f(-3) = 4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$.

- Для $x = -2,5$: так как $-2,5 < 1$, используется формула $f(x) = 4^x$.
$f(-2,5) = 4^{-2,5} = 4^{-5/2} = (\sqrt{4})^{-5} = 2^{-5} = \frac{1}{32}$.

- Для $x = 0$: так как $0 < 1$, используется формула $f(x) = 4^x$.
$f(0) = 4^0 = 1$.

- Для $x = 1$: так как $1 \ge 1$, используется формула $f(x) = -x^2 + 1$.
$f(1) = -(1)^2 + 1 = -1 + 1 = 0$.

- Для $x = 2$: так как $2 \ge 1$, используется формула $f(x) = -x^2 + 1$.
$f(2) = -(2)^2 + 1 = -4 + 1 = -3$.

Ответ: $f(-3) = \frac{1}{64}$; $f(-2,5) = \frac{1}{32}$; $f(0) = 1$; $f(1) = 0$; $f(2) = -3$.

б)

Построение графика.
График функции $y = f(x)$ состоит из двух частей.
1. Для $x < 1$ строим график показательной функции $y = 4^x$. Это возрастающая кривая, которая проходит через точку $(0; 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось $Ox$) при $x \to -\infty$. В граничной точке $x=1$ график имеет разрыв; предел слева равен $\lim_{x \to 1^-} 4^x = 4$. Таким образом, эта часть графика заканчивается выколотой точкой с координатами $(1; 4)$.
2. Для $x \ge 1$ строим график квадратичной функции $y = -x^2 + 1$. Это часть параболы с ветвями, направленными вниз. Эта часть графика начинается в точке $(1; 0)$, поскольку $f(1)=0$, и убывает при дальнейшем увеличении $x$. Например, она проходит через точку $(2; -3)$.

Свойства функции (чтение графика).
1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = (-\infty; 4)$.
3. Нули функции: $f(x) = 0$ при $x=1$.
4. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; 1)$; $f(x) < 0$ при $x \in (1; +\infty)$.
5. Монотонность: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1)$, убывает на промежутке $[1; +\infty)$.
6. Четность/нечетность: функция является функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной).
7. Непрерывность: функция непрерывна на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$. В точке $x=1$ имеет разрыв первого рода (скачок).
8. Экстремумы: функция не имеет точек локального максимума или минимума.

Ответ: График функции представляет собой объединение части графика показательной функции $y=4^x$ на интервале $(-\infty; 1)$ и части графика параболы $y=-x^2+1$ на луче $[1; +\infty)$. Основные свойства функции перечислены выше.