Номер 11.45, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.45, страница 68.

11.45. a) $y = 3^x + 1;$

б) $y = \left(\frac{7}{9}\right)^x + 6;$

В) $y = 17^x - 2;$

Г) $y = \left(\frac{2}{5}\right)^x - 8.$

а) Для нахождения области значений функции $y = 3^x + 1$ воспользуемся свойством показательной функции. Область значений функции $y_0 = 3^x$ — это все положительные числа, то есть $E(y_0) = (0; +\infty)$. Это можно записать в виде неравенства $3^x > 0$ для любого действительного $x$. Функция $y = 3^x + 1$ получается из $y_0 = 3^x$ сдвигом вверх на 1 единицу. Чтобы найти новую область значений, прибавим 1 к обеим частям неравенства: $3^x + 1 > 0 + 1$, что дает $y > 1$. Таким образом, область значений функции — это все числа, большие 1.
Ответ: $E(y) = (1; +\infty)$.

б) Рассмотрим функцию $y = \left(\frac{7}{9}\right)^x + 6$. Базовая показательная функция $y_0 = \left(\frac{7}{9}\right)^x$ имеет область значений $(0; +\infty)$, так как любое положительное число в любой действительной степени является положительным. Значит, $\left(\frac{7}{9}\right)^x > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Данная функция представляет собой сдвиг графика $y_0$ вверх на 6 единиц. Прибавим 6 к неравенству: $\left(\frac{7}{9}\right)^x + 6 > 0 + 6$, откуда получаем $y > 6$. Область значений функции — это интервал от 6 до плюс бесконечности.
Ответ: $E(y) = (6; +\infty)$.

в) Для функции $y = 17^x - 2$ основная часть — это показательная функция $y_0 = 17^x$. Область значений этой функции — $E(y_0) = (0; +\infty)$, что означает $17^x > 0$ для любого $x$. График функции $y = 17^x - 2$ получается из графика $y_0 = 17^x$ сдвигом вниз на 2 единицы. Чтобы найти область значений, вычтем 2 из обеих частей неравенства: $17^x - 2 > 0 - 2$, что приводит к $y > -2$. Таким образом, функция принимает все значения, которые строго больше -2.
Ответ: $E(y) = (-2; +\infty)$.

г) Рассмотрим функцию $y = \left(\frac{2}{5}\right)^x - 8$. Аналогично предыдущим пунктам, область значений показательной функции $y_0 = \left(\frac{2}{5}\right)^x$ есть интервал $(0; +\infty)$. Это выражается неравенством $\left(\frac{2}{5}\right)^x > 0$. График исходной функции получен сдвигом графика $y_0$ вниз на 8 единиц. Выполним соответствующее преобразование с неравенством: $\left(\frac{2}{5}\right)^x - 8 > 0 - 8$, что дает нам $y > -8$. Следовательно, область значений данной функции — это все числа, большие -8.
Ответ: $E(y) = (-8; +\infty)$.