Номер 11.39, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.39, страница 67.

11.39. Докажите, что для функции $y = f(x)$, где $f(x) = 2^x$, выполняется равенство:

a) $f(x_1) \cdot f(x_2) = f(x_1 + x_2)$;

б) $f(x + 1) \cdot f(2x) = 2f^3(x)$;

в) $f(-2x) = \frac{1}{f^2(x)}$;

г) $f(\cos^2 x) = \sqrt{2f(\cos 2x)}.$

а) Для доказательства равенства $f(x_1) \cdot f(x_2) = f(x_1 + x_2)$ подставим в него определение функции $f(x) = 2^x$.
Преобразуем левую часть равенства:
$f(x_1) \cdot f(x_2) = 2^{x_1} \cdot 2^{x_2}$
Используем свойство произведения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$2^{x_1} \cdot 2^{x_2} = 2^{x_1+x_2}$
Теперь преобразуем правую часть равенства:
$f(x_1+x_2) = 2^{x_1+x_2}$
Поскольку левая и правая части равенства приводятся к одному и тому же виду ($2^{x_1+x_2}$), тождество доказано.
Ответ: Равенство доказано.

б) Докажем равенство $f(x + 1) \cdot f(2x) = 2f^3(x)$.
Подставим $f(x) = 2^x$ в левую часть:
$f(x + 1) \cdot f(2x) = 2^{x+1} \cdot 2^{2x} = 2^{(x+1)+2x} = 2^{3x+1}$.
Теперь подставим $f(x) = 2^x$ в правую часть:
$2f^3(x) = 2 \cdot (f(x))^3 = 2 \cdot (2^x)^3 = 2^1 \cdot 2^{3x} = 2^{1+3x} = 2^{3x+1}$.
Левая и правая части равны, следовательно, равенство является верным.
Ответ: Равенство доказано.

в) Для доказательства тождества $f(-2x) = \frac{1}{f^2(x)}$ воспользуемся определением функции $f(x) = 2^x$.
Левая часть:
$f(-2x) = 2^{-2x}$.
Правая часть:
$\frac{1}{f^2(x)} = \frac{1}{(f(x))^2} = \frac{1}{(2^x)^2} = \frac{1}{2^{2x}}$.
Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, видим, что $\frac{1}{2^{2x}} = 2^{-2x}$.
Таким образом, обе части равенства равны $2^{-2x}$, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

г) Докажем, что $f(\cos^2 x) = \sqrt{2f(\cos 2x)}$.
Подставим $f(x)=2^x$ в левую часть:
$f(\cos^2 x) = 2^{\cos^2 x}$.
Подставим $f(x)=2^x$ в правую часть:
$\sqrt{2f(\cos 2x)} = \sqrt{2 \cdot 2^{\cos 2x}} = \sqrt{2^{1+\cos 2x}} = (2^{1+\cos 2x})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1+\cos 2x}{2}}$.
Чтобы доказать исходное равенство, необходимо показать, что равны показатели степеней в левой и правой частях:
$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$.
Это известная тригонометрическая формула понижения степени. Её можно вывести из формулы косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.
Из неё следует, что $2\cos^2 x = 1 + \cos 2x$, и, разделив обе части на 2, получаем $\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$.
Поскольку показатели степеней равны, исходное равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.