Номер 11.42, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.42, страница 67.

11.42. a) $y = \frac{1}{2^x - 1}$;

Б) $y = \frac{x+2}{0,5^x - 2}$;

В) $y = \frac{x}{3^x - 9}$;

Г) $y = \frac{2x+1}{\left(\frac{1}{3}\right)^x - 27}$.

а)

Область определения функции (ОДЗ) находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Для функции $y = \frac{1}{2^x - 1}$ имеем ограничение:

$2^x - 1 \neq 0$

$2^x \neq 1$

Представим 1 в виде степени с основанием 2:

$2^x \neq 2^0$

Из равенства оснований следует равенство показателей, поэтому:

$x \neq 0$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме 0.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

б)

Область определения функции $y = \frac{x + 2}{0,5^x - 2}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$0,5^x - 2 \neq 0$

$0,5^x \neq 2$

Представим 0,5 в виде степени с основанием 2: $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.

$(2^{-1})^x \neq 2^1$

$2^{-x} \neq 2^1$

Из равенства оснований следует равенство показателей:

$-x \neq 1$

$x \neq -1$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме -1.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

в)

Область определения функции $y = \frac{x}{3^x - 9}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$3^x - 9 \neq 0$

$3^x \neq 9$

Представим 9 в виде степени с основанием 3:

$3^x \neq 3^2$

Из равенства оснований следует равенство показателей:

$x \neq 2$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме 2.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

г)

Область определения функции $y = \frac{2x + 1}{(\frac{1}{3})^x - 27}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$(\frac{1}{3})^x - 27 \neq 0$

$(\frac{1}{3})^x \neq 27$

Представим обе части неравенства в виде степеней с основанием 3: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ и $27 = 3^3$.

$(3^{-1})^x \neq 3^3$

$3^{-x} \neq 3^3$

Из равенства оснований следует равенство показателей:

$-x \neq 3$

$x \neq -3$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме -3.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.