Номер 11.40, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.40, страница 67.

11.40. Докажите, что для функции $y = f(x)$, где $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$, выполняется равенство:

a) $f(x_1) \cdot f(x_2) = f(x_1 + x_2);$

б) $f(x - 1) \cdot f(3x) = 3f^4(x);$

в) $f(-5x) = \frac{1}{f^5(x)};$

г) $f(\sin^2 x) = \frac{1}{\sqrt{3}f(\cos 2x)}.$

Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = (\frac{1}{3})^x$. Докажем следующие равенства:

а) $f(x_1) \cdot f(x_2) = f(x_1 + x_2)$
Преобразуем левую часть равенства, используя определение функции:
$f(x_1) \cdot f(x_2) = (\frac{1}{3})^{x_1} \cdot (\frac{1}{3})^{x_2}$.
По свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:
$(\frac{1}{3})^{x_1} \cdot (\frac{1}{3})^{x_2} = (\frac{1}{3})^{x_1 + x_2}$.
Правая часть равенства по определению функции:
$f(x_1 + x_2) = (\frac{1}{3})^{x_1 + x_2}$.
Левая часть равна правой. Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

б) $f(x - 1) \cdot f(3x) = 3f^4(x)$
Преобразуем левую часть равенства:
$f(x - 1) \cdot f(3x) = (\frac{1}{3})^{x-1} \cdot (\frac{1}{3})^{3x} = (\frac{1}{3})^{(x-1)+3x} = (\frac{1}{3})^{4x-1}$.
Используя свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, можем записать:
$(\frac{1}{3})^{4x-1} = \frac{(\frac{1}{3})^{4x}}{(\frac{1}{3})^1} = 3 \cdot (\frac{1}{3})^{4x}$.
Теперь преобразуем правую часть равенства:
$3f^4(x) = 3 \cdot (f(x))^4 = 3 \cdot ((\frac{1}{3})^x)^4 = 3 \cdot (\frac{1}{3})^{4x}$.
Левая часть равна правой. Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

в) $f(-5x) = \frac{1}{f^5(x)}$
Преобразуем левую часть равенства:
$f(-5x) = (\frac{1}{3})^{-5x}$.
Преобразуем правую часть равенства:
$\frac{1}{f^5(x)} = \frac{1}{(f(x))^5} = \frac{1}{((\frac{1}{3})^x)^5} = \frac{1}{(\frac{1}{3})^{5x}}$.
По свойству степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, имеем:
$(\frac{1}{3})^{-5x} = \frac{1}{(\frac{1}{3})^{5x}}$.
Левая часть равна правой. Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

г) $f(\sin^2 x) = \frac{1}{\sqrt{3f(\cos 2x)}}$
Преобразуем левую часть равенства:
$f(\sin^2 x) = (\frac{1}{3})^{\sin^2 x}$.
Теперь преобразуем правую часть. Сначала найдем выражение под корнем:
$3f(\cos 2x) = 3 \cdot (\frac{1}{3})^{\cos 2x} = 3^1 \cdot (3^{-1})^{\cos 2x} = 3^1 \cdot 3^{-\cos 2x} = 3^{1 - \cos 2x}$.
Подставим это обратно в правую часть:
$\frac{1}{\sqrt{3f(\cos 2x)}} = \frac{1}{\sqrt{3^{1 - \cos 2x}}} = \frac{1}{(3^{1 - \cos 2x})^{1/2}} = \frac{1}{3^{\frac{1 - \cos 2x}{2}}} = 3^{-(\frac{1 - \cos 2x}{2})} = 3^{\frac{\cos 2x - 1}{2}}$.
Используем тригонометрическое тождество двойного угла: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, откуда следует, что $\cos 2x - 1 = -2\sin^2 x$.
Подставим это выражение в показатель степени правой части:
$3^{\frac{\cos 2x - 1}{2}} = 3^{\frac{-2\sin^2 x}{2}} = 3^{-\sin^2 x}$.
Теперь сравним с левой частью. Так как $\frac{1}{3} = 3^{-1}$, то:
$f(\sin^2 x) = (\frac{1}{3})^{\sin^2 x} = (3^{-1})^{\sin^2 x} = 3^{-\sin^2 x}$.
Левая и правая части равны $3^{-\sin^2 x}$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.