Номер 11.33, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.33, страница 65.

11.33. Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на указанном промежутке:

а) $y = 2^x$, $[1; 4];$

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$, $[-4; -2];$

в) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$, $[0; 4];$

г) $y = 2^x$, $[-4; 2].$

а) Дана функция $y = 2^x$ на промежутке $[1; 4]$.
Это показательная функция с основанием $a = 2$. Так как основание $a > 1$, функция является монотонно возрастающей на всей своей области определения. Следовательно, на заданном отрезке $[1; 4]$ она достигает своего наименьшего значения на левом конце отрезка (при $x=1$), а наибольшего — на правом конце (при $x=4$).
Найдем наименьшее значение функции:
$y_{наим} = y(1) = 2^1 = 2$.
Найдем наибольшее значение функции:
$y_{наиб} = y(4) = 2^4 = 16$.
Ответ: $y_{наим} = 2, y_{наиб} = 16$.

б) Дана функция $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ на промежутке $[-4; -2]$.
Это показательная функция с основанием $a = \frac{1}{3}$. Так как основание $0 < a < 1$, функция является монотонно убывающей на всей своей области определения. Следовательно, на заданном отрезке $[-4; -2]$ она достигает своего наибольшего значения на левом конце отрезка (при $x=-4$), а наименьшего — на правом конце (при $x=-2$).
Найдем наибольшее значение функции:
$y_{наиб} = y(-4) = \left(\frac{1}{3}\right)^{-4} = (3^{-1})^{-4} = 3^4 = 81$.
Найдем наименьшее значение функции:
$y_{наим} = y(-2) = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = (3^{-1})^{-2} = 3^2 = 9$.
Ответ: $y_{наим} = 9, y_{наиб} = 81$.

в) Дана функция $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ на промежутке $[0; 4]$.
Это показательная функция с основанием $a = \frac{1}{3}$. Так как основание $0 < a < 1$, функция является монотонно убывающей. Следовательно, на отрезке $[0; 4]$ она достигает своего наибольшего значения на левом конце отрезка (при $x=0$), а наименьшего — на правом конце (при $x=4$).
Найдем наибольшее значение функции:
$y_{наиб} = y(0) = \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1$.
Найдем наименьшее значение функции:
$y_{наим} = y(4) = \left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$.
Ответ: $y_{наим} = \frac{1}{81}, y_{наиб} = 1$.

г) Дана функция $y = 2^x$ на промежутке $[-4; 2]$.
Это показательная функция с основанием $a = 2$. Так как основание $a > 1$, функция является монотонно возрастающей. Следовательно, на отрезке $[-4; 2]$ она достигает своего наименьшего значения на левом конце отрезка (при $x=-4$), а наибольшего — на правом конце (при $x=2$).
Найдем наименьшее значение функции:
$y_{наим} = y(-4) = 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$.
Найдем наибольшее значение функции:
$y_{наиб} = y(2) = 2^2 = 4$.
Ответ: $y_{наим} = \frac{1}{16}, y_{наиб} = 4$.