Номер 11.30, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.30, страница 65.

ˆ11.30.

a) $y = 2^{-x+1}$;

б) $y = 5^{-2x} + 4$;

В) $y = \frac{1}{2^{-x+1}};$

Г) $y = 10^{-3x} - 2.$

а) $y = 2^{-x+1}$
Область определения ($D(y)$):
Показательная функция определена для любого действительного значения показателя. Выражение в показателе степени, $-x+1$, является многочленом, который определен для всех действительных чисел $x$.
Следовательно, область определения функции – это множество всех действительных чисел.
Область значений ($E(y)$):
Показательная функция с основанием, большим 1 (в данном случае основание равно 2), принимает только положительные значения. Выражение $-x+1$ может принимать любое действительное значение, когда $x$ пробегает все действительные числа. Это означает, что $2^{-x+1}$ будет принимать все значения из интервала $(0; +\infty)$.
Таким образом, область значений функции – это множество всех положительных действительных чисел.
Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = (0; +\infty)$.

б) $y = 5^{-2x} + 4$
Область определения ($D(y)$):
Выражение $5^{-2x}$ определено для всех действительных чисел $x$, так как показатель $-2x$ определен для всех $x$. Сложение с константой $4$ не накладывает дополнительных ограничений.
Следовательно, область определения функции – это множество всех действительных чисел.
Область значений ($E(y)$):
Значение показательной функции $5^{-2x}$ всегда строго положительно для любого $x$, то есть $5^{-2x} > 0$.
Прибавив к обеим частям неравенства $4$, получаем: $5^{-2x} + 4 > 4$.
Таким образом, значение функции $y$ всегда больше $4$. Так как $5^{-2x}$ может принимать значения, сколь угодно близкие к нулю (например, при $x \to +\infty$), то значения $y$ могут быть сколь угодно близки к $4$. При $x \to -\infty$, $5^{-2x} \to +\infty$, и $y \to +\infty$.
Следовательно, область значений функции – это все числа, большие $4$.
Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = (4; +\infty)$.

в) $y = \frac{1}{2^{-x+1}}$
Область определения ($D(y)$):
Функция определена, если ее знаменатель не равен нулю. Знаменатель $2^{-x+1}$ является показательной функцией, которая никогда не обращается в ноль ($a^z \neq 0$ для любых $a > 0, a \neq 1$).
Следовательно, область определения функции – это множество всех действительных чисел.
Область значений ($E(y)$):
Используя свойства степеней, преобразуем функцию: $y = \frac{1}{2^{-x+1}} = (2^{-x+1})^{-1} = 2^{-1 \cdot (-x+1)} = 2^{x-1}$.
Получили показательную функцию с основанием $2 > 1$. Показатель $x-1$ может принимать любое действительное значение.
Следовательно, как и любая базовая показательная функция, $y = 2^{x-1}$ принимает все положительные значения.
Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = (0; +\infty)$.

г) $y = 10^{-3x} - 2$
Область определения ($D(y)$):
Выражение $10^{-3x}$ определено для всех действительных чисел $x$. Вычитание константы $2$ не изменяет область определения.
Следовательно, область определения функции – это множество всех действительных чисел.
Область значений ($E(y)$):
Значение показательной функции $10^{-3x}$ всегда строго положительно: $10^{-3x} > 0$.
Вычитая из обеих частей неравенства $2$, получаем: $10^{-3x} - 2 > -2$.
Таким образом, значение функции $y$ всегда больше $-2$. Так как $10^{-3x}$ может принимать значения, сколь угодно близкие к нулю (при $x \to +\infty$), то значения $y$ могут быть сколь угодно близки к $-2$. При $x \to -\infty$, $10^{-3x} \to +\infty$, и $y \to +\infty$.
Следовательно, область значений функции – это все числа, большие $-2$.
Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = (-2; +\infty)$.