Номер 11.32, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.32, страница 65.

11.32. Укажите, какие из данных функций не ограничены сверху:

a) $y = -3x^2 + 1;$

б) $y = (0,6)^x;$

в) $y = (7,2)^x;$

г) $y = \cos x.$

а) Функция $y = -3x^2 + 1$. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-3 < 0$), ветви параболы направлены вниз. Такая парабола имеет наибольшее значение в своей вершине. Координата вершины по оси абсцисс $x_0 = 0$. Максимальное значение функции равно $y_{max} = y(0) = -3 \cdot 0^2 + 1 = 1$. Таким образом, для любого значения $x$ выполняется неравенство $y(x) \le 1$. Это означает, что функция ограничена сверху.
Ответ: функция ограничена сверху.

б) Функция $y = (0,6)^x$. Это показательная функция с основанием $a = 0,6$. Поскольку основание удовлетворяет условию $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей области определения. Область значений этой функции — $(0; +\infty)$. Это означает, что функция может принимать сколь угодно большие положительные значения (при $x \to -\infty$). Следовательно, функция не ограничена сверху.
Ответ: функция не ограничена сверху.

в) Функция $y = (7,2)^x$. Это показательная функция с основанием $a = 7,2$. Поскольку основание $a > 1$, функция является возрастающей на всей области определения. Область значений этой функции — $(0; +\infty)$. Это означает, что функция может принимать сколь угодно большие положительные значения (при $x \to +\infty$). Следовательно, функция не ограничена сверху.
Ответ: функция не ограничена сверху.

г) Функция $y = \cos x$. Это тригонометрическая функция. Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ выполняется двойное неравенство $-1 \le \cos x \le 1$. Из этого следует, что $\cos x \le 1$, то есть функция ограничена сверху числом 1.
Ответ: функция ограничена сверху.