Номер 11.34, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.34, страница 66.

Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на указанном промежутке:

11.34. a) $y = (\sqrt{2})^x$, $(-\infty; 4];$

б) $y = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^x$, $(-\infty; 2];$

в) $y = (\sqrt[3]{5})^x$, $[0; +\infty);$

г) $y = \left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^x$, $[-2; +\infty).$

а) Дана показательная функция $y = (\sqrt{2})^x$ на промежутке $(-\infty; 4]$. Основание функции $a = \sqrt{2}$. Так как $a > 1$, функция является монотонно возрастающей на всей своей области определения. На промежутке, не ограниченном слева и ограниченном справа, возрастающая функция достигает своего наибольшего значения в крайней правой точке промежутка и не имеет наименьшего значения. Наибольшее значение достигается при $x = 4$: $y_{наиб} = (\sqrt{2})^4 = (2^{1/2})^4 = 2^{4/2} = 2^2 = 4$. Поскольку при $x \to -\infty$ значение функции $y \to 0$, но никогда его не достигает, наименьшего значения у функции на данном промежутке нет.
Ответ: наибольшее значение функции равно 4, наименьшего значения не существует.

б) Дана показательная функция $y = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^x$ на промежутке $(-\infty; 2]$. Основание функции $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Так как $0 < a < 1$, функция является монотонно убывающей на всей своей области определения. На промежутке, не ограниченном слева и ограниченном справа, убывающая функция достигает своего наименьшего значения в крайней правой точке промежутка и не имеет наибольшего значения. Наименьшее значение достигается при $x = 2$: $y_{наим} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3}$. Поскольку при $x \to -\infty$ значение функции $y \to +\infty$, наибольшего значения у функции на данном промежутке нет.
Ответ: наименьшее значение функции равно $\frac{1}{3}$, наибольшего значения не существует.

в) Дана показательная функция $y = (\sqrt[3]{5})^x$ на промежутке $[0; +\infty)$. Основание функции $a = \sqrt[3]{5}$. Так как $a > 1$ (поскольку $\sqrt[3]{5} > \sqrt[3]{1} = 1$), функция является монотонно возрастающей на всей своей области определения. На промежутке, ограниченном слева и не ограниченном справа, возрастающая функция достигает своего наименьшего значения в крайней левой точке промежутка и не имеет наибольшего значения. Наименьшее значение достигается при $x = 0$: $y_{наим} = (\sqrt[3]{5})^0 = 1$. Поскольку при $x \to +\infty$ значение функции $y \to +\infty$, наибольшего значения у функции на данном промежутке нет.
Ответ: наименьшее значение функции равно 1, наибольшего значения не существует.

г) Дана показательная функция $y = \left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^x$ на промежутке $[-2; +\infty)$. Основание функции $a = \frac{1}{\sqrt{7}}$. Так как $0 < a < 1$ (поскольку $\sqrt{7} > 1$), функция является монотонно убывающей на всей своей области определения. На промежутке, ограниченном слева и не ограниченном справа, убывающая функция достигает своего наибольшего значения в крайней левой точке промежутка и не имеет наименьшего значения. Наибольшее значение достигается при $x = -2$: $y_{наиб} = \left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^{-2} = (\sqrt{7})^2 = 7$. Поскольку при $x \to +\infty$ значение функции $y \to 0$, но никогда его не достигает, наименьшего значения у функции на данном промежутке нет.
Ответ: наибольшее значение функции равно 7, наименьшего значения не существует.