Номер 11.31, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.31, страница 65.

11.31. Укажите, какие из заданных функций ограничены снизу:

а) $y = 4x - 1;$

б) $y = 18^x;$

в) $y = -3x^2 + 8;$

г) $y = \left(\frac{4}{11}\right)^x.$

Функция называется ограниченной снизу, если существует такое число $M$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $y(x) \ge M$. Проанализируем каждую из предложенных функций.

а) $y = 4x - 1$

Это линейная функция, её график — прямая линия. Область определения и область значений этой функции — множество всех действительных чисел, то есть $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Поскольку значения функции могут быть сколь угодно малыми (при $x \to -\infty$, $y \to -\infty$), функция не является ограниченной снизу.

Ответ: не ограничена снизу.

б) $y = 18^x$

Это показательная функция с основанием $a = 18$, где $a > 1$. Значения показательной функции всегда положительны, то есть $18^x > 0$ для любого действительного значения $x$. Область значений этой функции — $E(y) = (0; +\infty)$. Следовательно, функция ограничена снизу, например, числом 0.

Ответ: ограничена снизу.

в) $y = -3x^2 + 8$

Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-3 < 0$), поэтому ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет наибольшее значение, но не имеет наименьшего. Наибольшее значение достигается в вершине параболы: $y_{max} = 8$ при $x=0$. Область значений функции — $E(y) = (-\infty; 8]$. Так как значения функции уходят в $-\infty$, она не ограничена снизу.

Ответ: не ограничена снизу.

г) $y = \left(\frac{4}{11}\right)^x$

Это показательная функция с основанием $a = \frac{4}{11}$, где $0 < a < 1$. Как и любая показательная функция с положительным основанием, она принимает только положительные значения, то есть $\left(\frac{4}{11}\right)^x > 0$ для любого действительного $x$. Область значений этой функции — $E(y) = (0; +\infty)$. Следовательно, функция ограничена снизу, например, числом 0.

Ответ: ограничена снизу.