Номер 11.24, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.24, страница 64.

11.24. a) $(\sqrt{3})^{\frac{2}{3}}$; $(\sqrt{3})^{-\sqrt{2}}$; $(\sqrt{3})^{1,2}$; 1; $(\sqrt{3})^{\sqrt{2}}$; $(\sqrt{3})^{\sqrt{3}};

б) $(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2})^{0,3}$; $(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2})^{0}$; $(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2})^{-0,2}$.

a) Чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, необходимо сравнить их значения. Все выражения, кроме единицы, представляют собой степень с основанием $\sqrt{3}$. Поскольку основание $\sqrt{3} \approx 1,732 > 1$, степенная функция $y = (\sqrt{3})^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует большее значение функции.

Представим число $1$ как степень с основанием $\sqrt{3}$: $1 = (\sqrt{3})^0$. Теперь задача сводится к сравнению показателей степеней: $\frac{2}{3}$; $-\sqrt{2}$; $1,2$; $0$; $\sqrt{2}$; $\sqrt{3}$.

Расположим показатели в порядке возрастания. Для этого оценим их приближенные значения:

• $-\sqrt{2} \approx -1,414$
• $0$
• $\frac{2}{3} \approx 0,667$
• $1,2$
• $\sqrt{2} \approx 1,414$
• $\sqrt{3} \approx 1,732$

Сравнивая значения, получаем следующую последовательность показателей: $-\sqrt{2} < 0 < \frac{2}{3} < 1,2 < \sqrt{2} < \sqrt{3}$.

Так как функция $y = (\sqrt{3})^x$ возрастающая, то сами числа располагаются в том же порядке: $(\sqrt{3})^{-\sqrt{2}} < (\sqrt{3})^0 < (\sqrt{3})^{\frac{2}{3}} < (\sqrt{3})^{1,2} < (\sqrt{3})^{\sqrt{2}} < (\sqrt{3})^{\sqrt{3}}$.

Заменив $(\sqrt{3})^0$ обратно на $1$, получаем окончательный ответ.

Ответ: $(\sqrt{3})^{-\sqrt{2}}$; $1$; $(\sqrt{3})^{\frac{2}{3}}$; $(\sqrt{3})^{1,2}$; $(\sqrt{3})^{\sqrt{2}}$; $(\sqrt{3})^{\sqrt{3}}$.

б) Все числа представляют собой степень с одинаковым основанием $a = \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}$. Сначала определим, больше или меньше единицы это основание.

Функция $y = \sqrt[3]{x}$ является возрастающей, поэтому из того, что $3 > 2$, следует $\sqrt[3]{3} > \sqrt[3]{2}$. Значит, основание $a = \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}$ является положительным числом.

Теперь сравним основание $a$ с единицей. Для этого сравним $\sqrt[3]{3}$ и $1 + \sqrt[3]{2}$. Возведем оба положительных выражения в куб:

• $(\sqrt[3]{3})^3 = 3$
• $(1 + \sqrt[3]{2})^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt[3]{2} + 3 \cdot 1 \cdot (\sqrt[3]{2})^2 + (\sqrt[3]{2})^3 = 1 + 3\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[3]{4} + 2 = 3 + 3\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[3]{4}$

Поскольку $3\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[3]{4} > 0$, то $3 + 3\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[3]{4} > 3$. Следовательно, $(1 + \sqrt[3]{2})^3 > (\sqrt[3]{3})^3$, а значит и $1 + \sqrt[3]{2} > \sqrt[3]{3}$. Отсюда получаем, что $1 > \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}$.

Таким образом, основание степени $a$ удовлетворяет неравенству $0 < a < 1$. Для такого основания степенная функция $y = a^x$ является убывающей. Это значит, что большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции.

Чтобы расположить числа в порядке возрастания, нужно расположить их показатели в порядке убывания. Показатели степеней: $0,3$; $0$; $-0,2$. В порядке убывания они располагаются так: $0,3 > 0 > -0,2$.

Следовательно, соответствующие степени будут расположены в обратном (возрастающем) порядке: $(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2})^{0,3} < (\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2})^{0} < (\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2})^{-0,2}$.

Ответ: $(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2})^{0,3}$; $(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2})^{0}$; $(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2})^{-0,2}$.