Номер 11.20, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.20, страница 64.

11.20. Сравните значения $(0,6)^{x_1}$ и $(0,6)^{x_2}$, если:

а) $x_1 = 0,2, x_2 = \frac{1}{3};$

Б) $x_1 = \sqrt{5}, x_2 = 2,5;$

В) $x_1 = -4,1, x_2 = -5;$

Г) $x_1 = -6,5, x_2 = 0,1.$

Для сравнения значений $(0.6)^{x_1}$ и $(0.6)^{x_2}$ воспользуемся свойствами показательной функции $y = a^x$. В данном случае основание степени $a = 0.6$.

Так как $0 < 0.6 < 1$, показательная функция $y = (0.6)^x$ является убывающей на всей области определения. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $(0.6)^{x_1} > (0.6)^{x_2}$. Иными словами, меньшему значению показателя степени соответствует большее значение самой степени.

Применим это правило для каждого случая.

а) $x_1 = 0.2, x_2 = \frac{1}{3}$

Сначала сравним показатели $x_1$ и $x_2$. Для этого представим десятичную дробь $0.2$ в виде обыкновенной:

$x_1 = 0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Теперь сравним дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{3}$. Приведем их к общему знаменателю $15$:

$\frac{1}{5} = \frac{3}{15}$; $\frac{1}{3} = \frac{5}{15}$

Поскольку $3 < 5$, то $\frac{3}{15} < \frac{5}{15}$, а значит, $x_1 < x_2$.

Так как функция $y = (0.6)^x$ является убывающей, то из неравенства $x_1 < x_2$ следует, что $(0.6)^{x_1} > (0.6)^{x_2}$.

Ответ: $(0.6)^{0.2} > (0.6)^{\frac{1}{3}}$.

б) $x_1 = \sqrt{5}, x_2 = 2.5$

Сравним показатели $x_1$ и $x_2$. Оба числа положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты, чтобы избавиться от корня:

$x_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$

$x_2^2 = (2.5)^2 = 6.25$

Поскольку $5 < 6.25$, то и $\sqrt{5} < 2.5$. Таким образом, $x_1 < x_2$.

Так как функция $y = (0.6)^x$ является убывающей, то из неравенства $x_1 < x_2$ следует, что $(0.6)^{x_1} > (0.6)^{x_2}$.

Ответ: $(0.6)^{\sqrt{5}} > (0.6)^{2.5}$.

в) $x_1 = -4.1, x_2 = -5$

Сравним показатели $x_1$ и $x_2$.

При сравнении отрицательных чисел, то число больше, модуль которого меньше. Так как $|-4.1| = 4.1$ и $|-5| = 5$, и $4.1 < 5$, то $-4.1 > -5$. Следовательно, $x_1 > x_2$.

Так как функция $y = (0.6)^x$ является убывающей, то из неравенства $x_1 > x_2$ следует, что $(0.6)^{x_1} < (0.6)^{x_2}$.

Ответ: $(0.6)^{-4.1} < (0.6)^{-5}$.

г) $x_1 = -6.5, x_2 = 0.1$

Сравним показатели $x_1$ и $x_2$.

Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Поэтому $-6.5 < 0.1$, что означает $x_1 < x_2$.

Так как функция $y = (0.6)^x$ является убывающей, то из неравенства $x_1 < x_2$ следует, что $(0.6)^{x_1} > (0.6)^{x_2}$.

Ответ: $(0.6)^{-6.5} > (0.6)^{0.1}$.