Номер 11.15, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.15, страница 63.

○11.15.

a) $y = (\sqrt{8} - \sqrt{2})^x;$

б) $y = (\sqrt[3]{24} - \sqrt[3]{4})^x;$

В) $y = (\sqrt{5} - \sqrt[3]{5})^x;$

Г) $y = (\sqrt[5]{32,1} - \sqrt{3})^x.$

а) Дана показательная функция $y = (\sqrt{8} - \sqrt{2})^x$. Основание этой функции $a = \sqrt{8} - \sqrt{2}$.
Упростим выражение для основания: $a = \sqrt{4 \cdot 2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$.
Показательная функция $y = a^x$ является возрастающей, если $a > 1$, и убывающей, если $0 < a < 1$.
Сравним основание $a = \sqrt{2}$ с единицей. Так как $2 > 1$, то $\sqrt{2} > \sqrt{1}$, следовательно, $\sqrt{2} > 1$.
Поскольку основание $a > 1$, функция является возрастающей.
Ответ: функция возрастающая.

б) Дана показательная функция $y = (\sqrt[3]{24} - \sqrt[3]{4})^x$. Основание этой функции $a = \sqrt[3]{24} - \sqrt[3]{4}$.
Упростим выражение для основания: $a = \sqrt[3]{8 \cdot 3} - \sqrt[3]{4} = 2\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{4}$.
Сравним основание $a$ с единицей. Для этого оценим значение $a$. Сравним $2\sqrt[3]{3}$ и $1 + \sqrt[3]{4}$. Поскольку обе части положительны, мы можем возвести их в куб.
$(2\sqrt[3]{3})^3 = 2^3 \cdot (\sqrt[3]{3})^3 = 8 \cdot 3 = 24$.
$(1 + \sqrt[3]{4})^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt[3]{4} + 3 \cdot 1 \cdot (\sqrt[3]{4})^2 + (\sqrt[3]{4})^3 = 1 + 3\sqrt[3]{4} + 3\sqrt[3]{16} + 4 = 5 + 3\sqrt[3]{4} + 3\sqrt[3]{8 \cdot 2} = 5 + 3\sqrt[3]{4} + 6\sqrt[3]{2}$.
Сравним $24$ и $5 + 3\sqrt[3]{4} + 6\sqrt[3]{2}$. Это эквивалентно сравнению $19$ и $3\sqrt[3]{4} + 6\sqrt[3]{2}$.
Используем оценки: $1.5^3=3.375$ и $1.6^3=4.096$, значит $1.5 < \sqrt[3]{4} < 1.6$.
$1.2^3=1.728$ и $1.3^3=2.197$, значит $1.2 < \sqrt[3]{2} < 1.3$.
Тогда $3\sqrt[3]{4} + 6\sqrt[3]{2} < 3 \cdot 1.6 + 6 \cdot 1.3 = 4.8 + 7.8 = 12.6$.
Так как $19 > 12.6$, то $19 > 3\sqrt[3]{4} + 6\sqrt[3]{2}$.
Следовательно, $24 > (1 + \sqrt[3]{4})^3$, а значит $2\sqrt[3]{3} > 1 + \sqrt[3]{4}$, откуда $a = 2\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{4} > 1$.
Поскольку основание $a > 1$, функция является возрастающей.
Ответ: функция возрастающая.

в) Дана показательная функция $y = (\sqrt{5} - \sqrt[3]{5})^x$. Основание этой функции $a = \sqrt{5} - \sqrt[3]{5}$.
Сначала убедимся, что основание положительно. Сравним $\sqrt{5}$ и $\sqrt[3]{5}$. Возведем оба числа в степень, равную наименьшему общему кратному показателей корней, то есть в 6-ю степень: $(\sqrt{5})^6 = 5^3 = 125$ и $(\sqrt[3]{5})^6 = 5^2 = 25$. Так как $125 > 25$, то $\sqrt{5} > \sqrt[3]{5}$, и, следовательно, $a > 0$.
Теперь сравним основание $a$ с единицей. Сравним $\sqrt{5} - \sqrt[3]{5}$ с $1$, что эквивалентно сравнению $\sqrt{5}$ с $1 + \sqrt[3]{5}$.
Используем оценки: $2.2^2 = 4.84$ и $2.3^2 = 5.29$, значит $2.2 < \sqrt{5} < 2.3$.
$1.7^3 = 4.913$ и $1.8^3 = 5.832$, значит $1.7 < \sqrt[3]{5} < 1.8$.
Тогда $1 + \sqrt[3]{5}$ находится в интервале $(1+1.7, 1+1.8)$, то есть $(2.7, 2.8)$.
Поскольку $\sqrt{5} < 2.3$ и $1 + \sqrt[3]{5} > 2.7$, очевидно, что $\sqrt{5} < 1 + \sqrt[3]{5}$.
Отсюда $a = \sqrt{5} - \sqrt[3]{5} < 1$.
Итак, мы получили, что $0 < a < 1$.
Поскольку основание $0 < a < 1$, функция является убывающей.
Ответ: функция убывающая.

г) Дана показательная функция $y = (\sqrt[5]{32,1} - \sqrt{3})^x$. Основание этой функции $a = \sqrt[5]{32,1} - \sqrt{3}$.
Сначала убедимся, что основание положительно. Сравним $\sqrt[5]{32,1}$ и $\sqrt{3}$. Возведем оба числа в 10-ю степень: $(\sqrt[5]{32,1})^{10} = (32,1)^2 = 1030,41$ и $(\sqrt{3})^{10} = (3^{1/2})^{10} = 3^5 = 243$. Так как $1030,41 > 243$, то $\sqrt[5]{32,1} > \sqrt{3}$, и $a > 0$.
Теперь сравним основание $a$ с единицей. Сравним $\sqrt[5]{32,1} - \sqrt{3}$ с $1$, что эквивалентно сравнению $\sqrt[5]{32,1}$ с $1 + \sqrt{3}$.
Используем оценки: $\sqrt[5]{32} = 2$, значит $\sqrt[5]{32,1}$ немного больше 2. $\sqrt{3} \approx 1.732$.
$a = \sqrt[5]{32,1} - \sqrt{3} > 2 - 1.732 = 0.268$.
Для более строгого доказательства, что $a < 1$, сравним $\sqrt[5]{32.1}$ и $1+\sqrt{3}$. Возведем обе части в 5-ю степень.
$(\sqrt[5]{32.1})^5 = 32.1$.
$(1+\sqrt{3})^5 = (1+\sqrt{3})^2(1+\sqrt{3})^2(1+\sqrt{3}) = (1+2\sqrt{3}+3)^2(1+\sqrt{3}) = (4+2\sqrt{3})^2(1+\sqrt{3}) = (16+16\sqrt{3}+12)(1+\sqrt{3}) = (28+16\sqrt{3})(1+\sqrt{3}) = 28+28\sqrt{3}+16\sqrt{3}+16 \cdot 3 = 28+44\sqrt{3}+48 = 76+44\sqrt{3}$.
Так как $\sqrt{3} > 0$, то $76+44\sqrt{3} > 76$. Очевидно, что $32.1 < 76+44\sqrt{3}$.
Следовательно, $\sqrt[5]{32.1} < 1+\sqrt{3}$, откуда $a = \sqrt[5]{32,1} - \sqrt{3} < 1$.
Итак, мы получили, что $0 < a < 1$.
Поскольку основание $0 < a < 1$, функция является убывающей.
Ответ: функция убывающая.