Номер 11.10, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.10, страница 62.

11.10. Найдите значение показательной функции $y = a^x$ при заданных значениях $x$:

а) $y = 7^x$, $x_1 = 3$, $x_2 = -1$, $x_3 = \frac{1}{2}$;

б) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$, $x_1 = \frac{3}{2}$, $x_2 = 1$, $x_3 = -\frac{1}{2}$;

в) $y = (\sqrt{3})^x$, $x_1 = 0$, $x_2 = 4$, $x_3 = 5$;

г) $y = \left(\frac{4}{9}\right)^x$, $x_1 = -\frac{3}{2}$, $x_2 = -1$, $x_3 = 2,5$.

а) Дана функция $y = 7^x$ и значения аргумента $x_1 = 3, x_2 = -1, x_3 = \frac{1}{2}$.
Чтобы найти значения функции, подставим данные значения $x$ в формулу:

• При $x_1 = 3$:
  $y_1 = 7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$
• При $x_2 = -1$:
  $y_2 = 7^{-1} = \frac{1}{7^1} = \frac{1}{7}$
• При $x_3 = \frac{1}{2}$:
  $y_3 = 7^{\frac{1}{2}} = \sqrt{7}$

Ответ: при $x=3, y=343$; при $x=-1, y=\frac{1}{7}$; при $x=\frac{1}{2}, y=\sqrt{7}$.

б) Дана функция $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ и значения аргумента $x_1 = \frac{3}{2}, x_2 = 1, x_3 = -\frac{1}{2}$.
Найдем значения функции для каждого $x$:

• При $x_1 = \frac{3}{2}$:
  $y_1 = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{2}} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^3} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$
• При $x_2 = 1$:
  $y_2 = \left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{1}{2}$
• При $x_3 = -\frac{1}{2}$:
  $y_3 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(2^{-1}\right)^{-\frac{1}{2}} = 2^{-1 \cdot (-\frac{1}{2})} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$

Ответ: при $x=\frac{3}{2}, y=\frac{\sqrt{2}}{4}$; при $x=1, y=\frac{1}{2}$; при $x=-\frac{1}{2}, y=\sqrt{2}$.

в) Дана функция $y = (\sqrt{3})^x$ и значения аргумента $x_1 = 0, x_2 = 4, x_3 = 5$.
Найдем значения функции для каждого $x$:

• При $x_1 = 0$:
  $y_1 = (\sqrt{3})^0 = 1$ (любое ненулевое число в степени 0 равно 1)
• При $x_2 = 4$:
  $y_2 = (\sqrt{3})^4 = \left(3^{\frac{1}{2}}\right)^4 = 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} = 3^2 = 9$
• При $x_3 = 5$:
  $y_3 = (\sqrt{3})^5 = (\sqrt{3})^4 \cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3}$

Ответ: при $x=0, y=1$; при $x=4, y=9$; при $x=5, y=9\sqrt{3}$.

г) Дана функция $y = \left(\frac{4}{9}\right)^x$ и значения аргумента $x_1 = -\frac{3}{2}, x_2 = -1, x_3 = 2,5$.
Представим десятичную дробь $2,5$ в виде обыкновенной: $2,5 = \frac{5}{2}$. Найдем значения функции для каждого $x$:

• При $x_1 = -\frac{3}{2}$:
  $y_1 = \left(\frac{4}{9}\right)^{-\frac{3}{2}} = \left(\frac{9}{4}\right)^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{\frac{9}{4}}\right)^3 = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}$
• При $x_2 = -1$:
  $y_2 = \left(\frac{4}{9}\right)^{-1} = \frac{9}{4}$
• При $x_3 = 2,5 = \frac{5}{2}$:
  $y_3 = \left(\frac{4}{9}\right)^{\frac{5}{2}} = \left(\sqrt{\frac{4}{9}}\right)^5 = \left(\frac{2}{3}\right)^5 = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243}$

Ответ: при $x=-\frac{3}{2}, y=\frac{27}{8}$; при $x=-1, y=\frac{9}{4}$; при $x=2,5, y=\frac{32}{243}$.