Номер 11.3, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.3, страница 61.

11.3. a) $4^{3,5} : 4^3;$

б) $(\frac{1}{2})^{-6,3} : (\frac{1}{2})^{-2,3};$

в) $8^{2\frac{1}{3}} : 8^2;$

г) $(\frac{2}{3})^{2,4} : (\frac{2}{3})^{-0,6}.$

а) Чтобы разделить степени с одинаковым основанием, нужно из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя. Это свойство выражается формулой: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Применим это правило к выражению $4^{3,5} : 4^3$:

$4^{3,5} : 4^3 = 4^{3,5 - 3} = 4^{0,5}$

Поскольку $0,5 = \frac{1}{2}$, то $4^{0,5} = 4^{\frac{1}{2}}$. Степень с показателем $\frac{1}{2}$ эквивалентна квадратному корню:

$4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$

Ответ: 2

б) В этом примере основание одинаковое и равно $\frac{1}{2}$. Применяем то же свойство деления степеней: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$(\frac{1}{2})^{-6,3} : (\frac{1}{2})^{-2,3} = (\frac{1}{2})^{-6,3 - (-2,3)} = (\frac{1}{2})^{-6,3 + 2,3} = (\frac{1}{2})^{-4}$

Отрицательный показатель степени означает, что нужно взять обратное число в соответствующей положительной степени: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$(\frac{1}{2})^{-4} = (\frac{2}{1})^4 = 2^4 = 16$

Ответ: 16

в) Основание степени равно 8. Показатели степеней $2\frac{1}{3}$ и 2. Используем правило деления степеней с одинаковым основанием:

$8^{2\frac{1}{3}} : 8^2 = 8^{2\frac{1}{3} - 2} = 8^{\frac{1}{3}}$

Степень с показателем $\frac{1}{3}$ эквивалентна кубическому корню:

$8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.

Ответ: 2

г) Основание степени равно $\frac{2}{3}$. Снова применяем правило деления степеней:

$(\frac{2}{3})^{2,4} : (\frac{2}{3})^{-0,6} = (\frac{2}{3})^{2,4 - (-0,6)} = (\frac{2}{3})^{2,4 + 0,6} = (\frac{2}{3})^3$

Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель:

$(\frac{2}{3})^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$

Ответ: $\frac{8}{27}$