Номер 11.6, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.6, страница 62.

Найдите значение выражения:

11.6. а) $(2^{-3})^2 \cdot 2^5;$

в) $(3^{2,7})^3 : 3^{5,1};$

б) $\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{4,1}\right)^6 : \left(\frac{2}{3}\right)^{20,6};$

г) $\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5.$

а) Для нахождения значения выражения $(2^{-3})^2 \cdot 2^5$ воспользуемся свойствами степеней.
1. При возведении степени в степень их показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(2^{-3})^2 = 2^{-3 \cdot 2} = 2^{-6}$.
2. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$2^{-6} \cdot 2^5 = 2^{-6+5} = 2^{-1}$.
3. Степень с отрицательным показателем равна единице, деленной на ту же степень с положительным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$2^{-1} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Для нахождения значения выражения $\left( \left( \frac{2}{3} \right)^{4,1} \right)^6 : \left( \frac{2}{3} \right)^{20,6}$ воспользуемся свойствами степеней.
1. Применим правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$\left( \left( \frac{2}{3} \right)^{4,1} \right)^6 = \left( \frac{2}{3} \right)^{4,1 \cdot 6} = \left( \frac{2}{3} \right)^{24,6}$.
2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$\left( \frac{2}{3} \right)^{24,6} : \left( \frac{2}{3} \right)^{20,6} = \left( \frac{2}{3} \right)^{24,6 - 20,6} = \left( \frac{2}{3} \right)^4$.
3. Вычислим значение полученной степени:
$\left( \frac{2}{3} \right)^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81}$.
Ответ: $\frac{16}{81}$

в) Для нахождения значения выражения $(3^{2,7})^3 : 3^{5,1}$ воспользуемся свойствами степеней.
1. Применим правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(3^{2,7})^3 = 3^{2,7 \cdot 3} = 3^{8,1}$.
2. Применим правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$3^{8,1} : 3^{5,1} = 3^{8,1 - 5,1} = 3^3$.
3. Вычислим значение:
$3^3 = 27$.
Ответ: $27$

г) Для нахождения значения выражения $\left( \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \right)^2 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^5$ воспользуемся свойствами степеней.
1. Применим правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$\left( \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \right)^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^{-3 \cdot 2} = \left( \frac{2}{3} \right)^{-6}$.
2. Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$\left( \frac{2}{3} \right)^{-6} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^5 = \left( \frac{2}{3} \right)^{-6+5} = \left( \frac{2}{3} \right)^{-1}$.
3. Степень с отрицательным показателем равна обратному числу в положительной степени: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$\left( \frac{2}{3} \right)^{-1} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$