Номер 10.22, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 10. Извлечение корней из комплексных чисел. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 10.22, страница 60.

10.22. a) $z^4 - 1 = 0;$

б) $z^4 - 3z^3 + 6z^2 - 12z + 8 = 0;$

в) $z^4 - 5z^2 - 36 = 0;$

г) $z^4 - 5z^3 + 7z^2 - 5z + 6 = 0.$

а) $z^4 - 1 = 0$

Разложим левую часть уравнения на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ дважды:

$z^4 - 1 = (z^2)^2 - 1^2 = (z^2 - 1)(z^2 + 1) = (z - 1)(z + 1)(z^2 + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $z - 1 = 0 \Rightarrow z_1 = 1$

2) $z + 1 = 0 \Rightarrow z_2 = -1$

3) $z^2 + 1 = 0 \Rightarrow z^2 = -1 \Rightarrow z = \pm\sqrt{-1} = \pm i$. Отсюда $z_3 = i, z_4 = -i$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $z_1 = 1, z_2 = -1, z_3 = i, z_4 = -i$.

б) $z^4 - 3z^3 + 6z^2 - 12z + 8 = 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители. Представим $6z^2$ как $2z^2 + 4z^2$:

$z^4 - 3z^3 + 2z^2 + 4z^2 - 12z + 8 = 0$

Вынесем общие множители из первых трех и последних трех слагаемых:

$z^2(z^2 - 3z + 2) + 4(z^2 - 3z + 2) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(z^2 - 3z + 2)$ за скобки:

$(z^2 + 4)(z^2 - 3z + 2) = 0$

Получаем два уравнения:

1) $z^2 + 4 = 0 \Rightarrow z^2 = -4 \Rightarrow z = \pm\sqrt{-4} = \pm 2i$. Отсюда $z_1 = 2i, z_2 = -2i$.

2) $z^2 - 3z + 2 = 0$. Это квадратное уравнение, которое легко решается. По теореме Виета, его корни $z=1$ и $z=2$ (сумма корней равна 3, произведение равно 2). Или разложением на множители: $(z-1)(z-2) = 0$. Отсюда $z_3 = 1, z_4 = 2$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $z_1 = 1, z_2 = 2, z_3 = 2i, z_4 = -2i$.

в) $z^4 - 5z^2 - 36 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену переменной: пусть $y = z^2$. Уравнение примет вид:

$y^2 - 5y - 36 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Корнями являются числа $9$ и $-4$ (произведение $-36$, сумма $5$).

$y_1 = 9, y_2 = -4$.

Теперь вернемся к исходной переменной $z$:

1) $z^2 = y_1 = 9 \Rightarrow z = \pm\sqrt{9} = \pm 3$. Отсюда $z_1 = 3, z_2 = -3$.

2) $z^2 = y_2 = -4 \Rightarrow z = \pm\sqrt{-4} = \pm 2i$. Отсюда $z_3 = 2i, z_4 = -2i$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $z_1 = 3, z_2 = -3, z_3 = 2i, z_4 = -2i$.

г) $z^4 - 5z^3 + 7z^2 - 5z + 6 = 0$

Воспользуемся теоремой о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами. Возможные рациональные корни находятся среди делителей свободного члена 6: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Подставим $z=2$: $2^4 - 5(2^3) + 7(2^2) - 5(2) + 6 = 16 - 40 + 28 - 10 + 6 = 0$. Следовательно, $z=2$ — корень.

Подставим $z=3$: $3^4 - 5(3^3) + 7(3^2) - 5(3) + 6 = 81 - 135 + 63 - 15 + 6 = 0$. Следовательно, $z=3$ — корень.

Так как $z=2$ и $z=3$ являются корнями, многочлен делится на произведение $(z-2)(z-3) = z^2 - 5z + 6$. Выполним разложение исходного многочлена на множители, сгруппировав слагаемые:

$z^4 - 5z^3 + 6z^2 + z^2 - 5z + 6 = 0$

$z^2(z^2 - 5z + 6) + 1(z^2 - 5z + 6) = 0$

$(z^2 + 1)(z^2 - 5z + 6) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $z^2 + 1 = 0 \Rightarrow z^2 = -1 \Rightarrow z = \pm i$. Отсюда $z_1 = i, z_2 = -i$.

2) $z^2 - 5z + 6 = 0$. Корни этого уравнения мы уже нашли: $z_3 = 2, z_4 = 3$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $z_1 = 2, z_2 = 3, z_3 = i, z_4 = -i$.