Номер 10.21, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 10. Извлечение корней из комплексных чисел. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 10.21, страница 60.

Решите уравнение и изобразите его корни на комплексной плоскости:

10.21. a) $z^3 - 2z^2 + z - 2 = 0;$

б) $z^3 + 3z^2 + 5z + 15 = 0;$

в) $z^3 + 3z^2 + z - 5 = 0;$

г) $z^3 + 4z^2 - 50z + 100 = 0.$

а) $z^3 - 2z^2 + z - 2 = 0$

Сгруппируем слагаемые, чтобы разложить левую часть уравнения на множители:

$(z^3 - 2z^2) + (z - 2) = 0$

$z^2(z - 2) + 1(z - 2) = 0$

$(z^2 + 1)(z - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $z - 2 = 0 \implies z_1 = 2$

2) $z^2 + 1 = 0 \implies z^2 = -1 \implies z = \pm\sqrt{-1} \implies z_{2,3} = \pm i$

Таким образом, мы получили три корня: $z_1 = 2$, $z_2 = i$, $z_3 = -i$.

Изобразим эти корни на комплексной плоскости. Комплексное число $z = x + iy$ изображается точкой с координатами $(x, y)$.

Корень $z_1 = 2$ (или $2+0i$) изображается точкой с координатами $(2, 0)$ на действительной оси.

Корень $z_2 = i$ (или $0+1i$) изображается точкой с координатами $(0, 1)$ на мнимой оси.

Корень $z_3 = -i$ (или $0-1i$) изображается точкой с координатами $(0, -1)$ на мнимой оси.

Ответ: $z_1 = 2, z_2 = i, z_3 = -i$.

б) $z^3 + 3z^2 + 5z + 15 = 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(z^3 + 3z^2) + (5z + 15) = 0$

$z^2(z + 3) + 5(z + 3) = 0$

$(z^2 + 5)(z + 3) = 0$

Уравнение распадается на два:

1) $z + 3 = 0 \implies z_1 = -3$

2) $z^2 + 5 = 0 \implies z^2 = -5 \implies z = \pm\sqrt{-5} \implies z_{2,3} = \pm i\sqrt{5}$

Получаем три корня: $z_1 = -3$, $z_2 = i\sqrt{5}$, $z_3 = -i\sqrt{5}$.

Изображение корней на комплексной плоскости:

Корень $z_1 = -3$ (или $-3+0i$) изображается точкой с координатами $(-3, 0)$ на действительной оси.

Корень $z_2 = i\sqrt{5}$ (или $0+i\sqrt{5}$) изображается точкой с координатами $(0, \sqrt{5})$ на мнимой оси.

Корень $z_3 = -i\sqrt{5}$ (или $0-i\sqrt{5}$) изображается точкой с координатами $(0, -\sqrt{5})$ на мнимой оси.

Ответ: $z_1 = -3, z_2 = i\sqrt{5}, z_3 = -i\sqrt{5}$.

в) $z^3 + 3z^2 + z - 5 = 0$

Попробуем найти целый корень среди делителей свободного члена $(-5)$: $\pm1, \pm5$.

Проверим $z=1$: $1^3 + 3(1)^2 + 1 - 5 = 1 + 3 + 1 - 5 = 0$.

Значит, $z_1=1$ является корнем, а многочлен делится на $(z-1)$ без остатка. Выполнив деление многочлена в столбик, получим:

$(z^3 + 3z^2 + z - 5) : (z - 1) = z^2 + 4z + 5$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(z - 1)(z^2 + 4z + 5) = 0$.

Рассмотрим два случая:

1) $z - 1 = 0 \implies z_1 = 1$

2) $z^2 + 4z + 5 = 0$. Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Корни находим по формуле: $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-4 \pm 2i}{2} = -2 \pm i$.

Отсюда $z_2 = -2 + i$ и $z_3 = -2 - i$.

Корни исходного уравнения: $z_1 = 1$, $z_2 = -2 + i$, $z_3 = -2 - i$.

Изображение корней на комплексной плоскости:

Корень $z_1 = 1$ изображается точкой $(1, 0)$ на действительной оси.

Корень $z_2 = -2 + i$ изображается точкой $(-2, 1)$.

Корень $z_3 = -2 - i$ изображается точкой $(-2, -1)$.

Ответ: $z_1 = 1, z_2 = -2 + i, z_3 = -2 - i$.

г) $z^3 + 4z^2 - 50z + 100 = 0$

Попробуем найти целый корень среди делителей свободного члена (100). Делителями являются $\pm1, \pm2, \pm4, \pm5, \pm10, \ldots$

Проверим $z=-10$: $(-10)^3 + 4(-10)^2 - 50(-10) + 100 = -1000 + 4(100) + 500 + 100 = -1000 + 400 + 500 + 100 = 0$.

Значит, $z_1=-10$ является корнем. Разделим многочлен на $(z - (-10)) = (z+10)$:

$(z^3 + 4z^2 - 50z + 100) : (z + 10) = z^2 - 6z + 10$.

Уравнение принимает вид:

$(z + 10)(z^2 - 6z + 10) = 0$.

Решим два уравнения:

1) $z + 10 = 0 \implies z_1 = -10$

2) $z^2 - 6z + 10 = 0$. Решим квадратное уравнение. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$.

Корни: $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{6 \pm 2i}{2} = 3 \pm i$.

Отсюда $z_2 = 3 + i$ и $z_3 = 3 - i$.

Корни исходного уравнения: $z_1 = -10$, $z_2 = 3 + i$, $z_3 = 3 - i$.

Изображение корней на комплексной плоскости:

Корень $z_1 = -10$ изображается точкой $(-10, 0)$ на действительной оси.

Корень $z_2 = 3 + i$ изображается точкой $(3, 1)$.

Корень $z_3 = 3 - i$ изображается точкой $(3, -1)$.

Ответ: $z_1 = -10, z_2 = 3 + i, z_3 = 3 - i$.