Номер 10.14, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 10. Извлечение корней из комплексных чисел. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 10.14, страница 58.

10.14. Вычислите и изобразите на комплексной плоскости:

а) $ \sqrt[6]{1} $;

б) $ \sqrt[6]{-1} $;

в) $ (\sqrt[6]{1})^2 $;

г) $ (\sqrt[6]{-1})^3 $.

а) $\sqrt[6]{1}$

Для вычисления корней n-й степени из комплексного числа $z$ используется тригонометрическая форма числа $z = r(\cos\phi + i\sin\phi)$ и формула Муавра для корней:

$z_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\frac{\phi + 2\pi k}{n} + i \sin\frac{\phi + 2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1, 2, ..., n-1$.

В данном случае $z = 1$. Представим его в тригонометрической форме. Модуль $r = |1| = 1$, аргумент $\phi = 0$.

$1 = 1(\cos(0) + i \sin(0))$.

Находим корни 6-й степени ($n=6$):

$z_k = \sqrt[6]{1} \left( \cos\frac{0 + 2\pi k}{6} + i \sin\frac{0 + 2\pi k}{6} \right) = \cos\frac{\pi k}{3} + i \sin\frac{\pi k}{3}$, для $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$.

Вычисляем значения для каждого $k$:

$k=0: z_0 = \cos(0) + i \sin(0) = 1$

$k=1: z_1 = \cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$k=2: z_2 = \cos(\frac{2\pi}{3}) + i \sin(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$k=3: z_3 = \cos(\pi) + i \sin(\pi) = -1$

$k=4: z_4 = \cos(\frac{4\pi}{3}) + i \sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$k=5: z_5 = \cos(\frac{5\pi}{3}) + i \sin(\frac{5\pi}{3}) = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

На комплексной плоскости эти шесть корней образуют вершины правильного шестиугольника, вписанного в окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Ответ: $1; \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}; -1; -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) $\sqrt[6]{-1}$

Представим число $z = -1$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |-1| = 1$, аргумент $\phi = \pi$.

$-1 = 1(\cos(\pi) + i \sin(\pi))$.

Находим корни 6-й степени ($n=6$):

$z_k = \sqrt[6]{1} \left( \cos\frac{\pi + 2\pi k}{6} + i \sin\frac{\pi + 2\pi k}{6} \right)$, для $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$.

Вычисляем значения для каждого $k$:

$k=0: z_0 = \cos(\frac{\pi}{6}) + i \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$

$k=1: z_1 = \cos(\frac{3\pi}{6}) + i \sin(\frac{3\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{2}) + i \sin(\frac{\pi}{2}) = i$

$k=2: z_2 = \cos(\frac{5\pi}{6}) + i \sin(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$

$k=3: z_3 = \cos(\frac{7\pi}{6}) + i \sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}$

$k=4: z_4 = \cos(\frac{9\pi}{6}) + i \sin(\frac{9\pi}{6}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) + i \sin(\frac{3\pi}{2}) = -i$

$k=5: z_5 = \cos(\frac{11\pi}{6}) + i \sin(\frac{11\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}$

На комплексной плоскости эти шесть корней также образуют вершины правильного шестиугольника, вписанного в единичную окружность, но повернутого на угол $\pi/6$ относительно шестиугольника из пункта а).

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}; i; -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}; -i; \frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}$.

в) $(\sqrt[6]{1})^2$

Данное выражение означает возведение в квадрат каждого из шести корней $\sqrt[6]{1}$, найденных в пункте а). Обозначим эти корни как $z_k = \cos\frac{\pi k}{3} + i \sin\frac{\pi k}{3}$.

Используем формулу Муавра для возведения в степень: $(z_k)^2 = \cos\frac{2\pi k}{3} + i \sin\frac{2\pi k}{3}$.

Вычисляем значения:

$k=0: (z_0)^2 = \cos(0) + i \sin(0) = 1$

$k=1: (z_1)^2 = \cos(\frac{2\pi}{3}) + i \sin(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$k=2: (z_2)^2 = \cos(\frac{4\pi}{3}) + i \sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$k=3: (z_3)^2 = \cos(2\pi) + i \sin(2\pi) = 1$

$k=4: (z_4)^2 = \cos(\frac{8\pi}{3}) + i \sin(\frac{8\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) + i \sin(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$k=5: (z_5)^2 = \cos(\frac{10\pi}{3}) + i \sin(\frac{10\pi}{3}) = \cos(\frac{4\pi}{3}) + i \sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

В результате получаем три уникальных значения, которые являются корнями 3-й степени из 1. На комплексной плоскости они образуют вершины правильного треугольника, вписанного в единичную окружность.

Ответ: $1; -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

г) $(\sqrt[6]{-1})^3$

Данное выражение означает возведение в куб каждого из шести корней $\sqrt[6]{-1}$, найденных в пункте б). Обозначим эти корни как $z_k = \cos\frac{\pi + 2\pi k}{6} + i \sin\frac{\pi + 2\pi k}{6}$.

Используем формулу Муавра для возведения в степень: $(z_k)^3 = \cos\frac{3(\pi + 2\pi k)}{6} + i \sin\frac{3(\pi + 2\pi k)}{6} = \cos(\frac{\pi}{2} + \pi k) + i \sin(\frac{\pi}{2} + \pi k)$.

Вычисляем значения:

$k=0: (z_0)^3 = \cos(\frac{\pi}{2}) + i \sin(\frac{\pi}{2}) = i$

$k=1: (z_1)^3 = \cos(\frac{3\pi}{2}) + i \sin(\frac{3\pi}{2}) = -i$

$k=2: (z_2)^3 = \cos(\frac{5\pi}{2}) + i \sin(\frac{5\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) + i \sin(\frac{\pi}{2}) = i$

$k=3: (z_3)^3 = \cos(\frac{7\pi}{2}) + i \sin(\frac{7\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) + i \sin(\frac{3\pi}{2}) = -i$

Значения для $k=4$ и $k=5$ также будут повторяться. В результате получаем два уникальных значения, которые являются корнями 2-й степени из -1. На комплексной плоскости это точки $(0, 1)$ и $(0, -1)$ на мнимой оси.

Ответ: $i; -i$.