Номер 10.10, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 10. Извлечение корней из комплексных чисел. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 10.10, страница 58.

10.10. Пусть ${z, z^2, z^3, \dots, z^n, z^{n+1}, \dots}$ – геометрическая про-грессия со знаменателем $z = \cos 0.1\pi - i \sin 0.1\pi$.

а) Укажите наименьшее натуральное значение $n$, при ко-тором $z^n$ лежит в третьей координатной четверти ком-плексной плоскости (не на координатных осях).

б) Укажите наименьшее натуральное значение $n$, при ко-тором $z^n$ лежит во второй координатной четверти (не на координатных осях).

в) Сколько в этой прогрессии различных чисел?

г) Найдите сумму этих различных чисел.

а)

Запишем комплексное число $z$ в тригонометрической форме. Дано $z = \cos(0,1\pi) - i \sin(0,1\pi)$. Используя свойства четности косинуса и нечетности синуса, получаем: $z = \cos(-0,1\pi) + i \sin(-0,1\pi)$. Это тригонометрическая форма комплексного числа с модулем $r = |z| = 1$ и аргументом $\arg(z) = -0,1\pi$.

Для нахождения $z^n$ воспользуемся формулой Муавра: $z^n = (\cos(-0,1\pi) + i \sin(-0,1\pi))^n = \cos(-0,1n\pi) + i \sin(-0,1n\pi)$. Аргумент числа $z^n$ равен $\arg(z^n) = -0,1n\pi$.

Комплексное число находится в третьей координатной четверти, если его аргумент $\theta$ удовлетворяет неравенству $\pi + 2\pi k < \theta < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$ для некоторого целого $k$. Так как аргумент $-0,1n\pi$ является отрицательным для натурального $n$, удобно выбрать $k = -1$, что дает интервал $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$. Итак, ищем наименьшее натуральное $n$, для которого выполняется двойное неравенство: $-\pi < -0,1n\pi < -\frac{\pi}{2}$. Условие, что число не лежит на координатных осях, означает, что неравенства строгие.

Разделим все части неравенства на $-\pi$, изменив знаки неравенства на противоположные: $1 > 0,1n > \frac{1}{2}$. Или, что то же самое: $0,5 < 0,1n < 1$. Умножим все части на 10: $5 < n < 10$.

Целые значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству, — это 6, 7, 8, 9. Наименьшее из них — 6.

Ответ: $n=6$.

б)

Комплексное число находится во второй координатной четверти, если его аргумент $\theta$ удовлетворяет неравенству $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < \theta < \pi + 2\pi k$ для некоторого целого $k$. Для отрицательного аргумента $-0,1n\pi$ выберем $k = -1$, что дает интервал $(-\frac{3\pi}{2}, -\pi)$. Ищем наименьшее натуральное $n$, для которого выполняется неравенство: $-\frac{3\pi}{2} < -0,1n\pi < -\pi$.

Разделим все части неравенства на $-\pi$, изменив знаки неравенства: $\frac{3}{2} > 0,1n > 1$. Или: $1 < 0,1n < 1,5$. Умножим все части на 10: $10 < n < 15$.

Целые значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству, — это 11, 12, 13, 14. Наименьшее из них — 11.

Ответ: $n=11$.

в)

Члены прогрессии $z^n$ начнут повторяться, когда для некоторого натурального $k$ выполнится условие $z^k = 1$. $z^k = \cos(-0,1k\pi) + i \sin(-0,1k\pi) = 1$. Это равенство справедливо, когда аргумент $-0,1k\pi$ является целым кратным $2\pi$: $-0,1k\pi = 2\pi m$ для некоторого целого $m$. $-0,1k = 2m$ $k = -20m$.

Мы ищем наименьшее натуральное значение $k$. Оно достигается при $m = -1$: $k = -20(-1) = 20$. Таким образом, $z^{20} = 1$, и последовательность степеней $z$ периодична с периодом 20. Числа $z^1, z^2, \dots, z^{19}, z^{20}$ являются различными, так как если бы $z^a = z^b$ для $1 \le a < b \le 20$, то $z^{b-a} = 1$, где $1 \le b-a \le 19$, что противоречит тому, что 20 — наименьшая такая степень. Следовательно, в прогрессии всего 20 различных чисел.

Ответ: 20.

г)

Нужно найти сумму всех различных членов прогрессии. Это сумма $S = z^1 + z^2 + \dots + z^{20}$. Эта сумма представляет собой сумму первых 20 членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = z$ и знаменателем $q = z$. Воспользуемся формулой суммы геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$.

В нашем случае $n=20$, $b_1 = z$, $q=z$. $S = \frac{z(z^{20} - 1)}{z-1}$. Из пункта в) мы знаем, что $z^{20} = 1$. Также, $z = \cos(-0,1\pi) + i \sin(-0,1\pi) \neq 1$, поэтому знаменатель $z-1 \neq 0$. Подставим значение $z^{20}$ в формулу: $S = \frac{z(1 - 1)}{z-1} = \frac{z \cdot 0}{z-1} = 0$.

Ответ: 0.