Номер 10.5, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 10. Извлечение корней из комплексных чисел. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 10.5, страница 57.

10.5. a) $z_1 = \sqrt{3} - 2 + i(\pi - 4)$

$z_2 = \sqrt{5} - 2 + i(\pi^2 - 9)$

$z_3 = \sqrt[4]{17} - \sqrt[5]{31} + i(1 - 2^{0.2})$

$z_4 = \sqrt[10]{1000} - \sqrt[9]{600} + i(3^{\frac{2}{3}} - 4^{\frac{2}{5}})$

б) $z_1 = \sin 200^{\circ} + i \cos 170^{\circ}$

$z_2 = \sin 250^{\circ} + i \cos 70^{\circ}$

$z_3 = \cos 440^{\circ} + i \cos 460^{\circ}$

$z_4 = \operatorname{tg} 185^{\circ} + i \arccos 0,9$

Для определения квадранта, в котором находится комплексное число $z = x + iy$, необходимо определить знаки его действительной части $x$ и мнимой части $y$.

• I четверть: $x > 0$, $y > 0$
• II четверть: $x < 0$, $y > 0$
• III четверть: $x < 0$, $y < 0$
• IV четверть: $x > 0$, $y < 0$

а)

$z_1 = \sqrt{3} - 2 + i(\pi - 4)$

Действительная часть: $x_1 = \sqrt{3} - 2$. Так как $3 < 4$, то $\sqrt{3} < \sqrt{4} = 2$. Следовательно, $x_1 = \sqrt{3} - 2 < 0$.

Мнимая часть: $y_1 = \pi - 4$. Так как $\pi \approx 3.14159$, то $\pi < 4$. Следовательно, $y_1 = \pi - 4 < 0$.

Поскольку $x_1 < 0$ и $y_1 < 0$, комплексное число $z_1$ находится в третьей координатной четверти.

Ответ: третья четверть.

$z_2 = \sqrt{5} - 2 + i(\pi^2 - 9)$

Действительная часть: $x_2 = \sqrt{5} - 2$. Так как $5 > 4$, то $\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$. Следовательно, $x_2 = \sqrt{5} - 2 > 0$.

Мнимая часть: $y_2 = \pi^2 - 9$. Так как $\pi \approx 3.14159$, то $\pi^2 \approx 9.87 > 9$. Следовательно, $y_2 = \pi^2 - 9 > 0$.

Поскольку $x_2 > 0$ и $y_2 > 0$, комплексное число $z_2$ находится в первой координатной четверти.

Ответ: первая четверть.

$z_3 = \sqrt[4]{17} - \sqrt[5]{31} + i(1 - 2^{0.2})$

Действительная часть: $x_3 = \sqrt[4]{17} - \sqrt[5]{31}$. Сравним $\sqrt[4]{17}$ и $\sqrt[5]{31}$ с числом 2. Так как $17 > 16$, то $\sqrt[4]{17} > \sqrt[4]{16} = 2$. Так как $31 < 32$, то $\sqrt[5]{31} < \sqrt[5]{32} = 2$. Получаем, что $\sqrt[4]{17} > 2$ и $\sqrt[5]{31} < 2$, значит $\sqrt[4]{17} > \sqrt[5]{31}$. Следовательно, $x_3 > 0$.

Мнимая часть: $y_3 = 1 - 2^{0.2} = 1 - \sqrt[5]{2}$. Так как $2 > 1$, то $\sqrt[5]{2} > \sqrt[5]{1} = 1$. Следовательно, $y_3 = 1 - \sqrt[5]{2} < 0$.

Поскольку $x_3 > 0$ и $y_3 < 0$, комплексное число $z_3$ находится в четвертой координатной четверти.

Ответ: четвертая четверть.

$z_4 = \sqrt[10]{1000} - \sqrt[9]{600} + i(3^{\frac{2}{3}} - 4^{\frac{2}{5}})$

Действительная часть: $x_4 = \sqrt[10]{1000} - \sqrt[9]{600}$. Сравним $\sqrt[10]{1000}$ и $\sqrt[9]{600}$ с числом 2. Так как $1000 < 1024 = 2^{10}$, то $\sqrt[10]{1000} < \sqrt[10]{1024} = 2$. Так как $600 > 512 = 2^9$, то $\sqrt[9]{600} > \sqrt[9]{512} = 2$. Получаем, что $\sqrt[10]{1000} < 2$ и $\sqrt[9]{600} > 2$, значит $\sqrt[10]{1000} < \sqrt[9]{600}$. Следовательно, $x_4 < 0$.

Мнимая часть: $y_4 = 3^{\frac{2}{3}} - 4^{\frac{2}{5}} = \sqrt[3]{9} - \sqrt[5]{16}$. Чтобы сравнить $\sqrt[3]{9}$ и $\sqrt[5]{16}$, возведем оба числа в 15-ю степень: $(\sqrt[3]{9})^{15} = 9^5 = (3^2)^5 = 3^{10} = 59049$. $(\sqrt[5]{16})^{15} = 16^3 = (2^4)^3 = 2^{12} = 4096$. Так как $59049 > 4096$, то $\sqrt[3]{9} > \sqrt[5]{16}$. Следовательно, $y_4 > 0$.

Поскольку $x_4 < 0$ и $y_4 > 0$, комплексное число $z_4$ находится во второй координатной четверти.

Ответ: вторая четверть.

б)

Для определения знаков тригонометрических функций будем использовать их значения в разных четвертях:

• I четверть ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$): $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha > 0$, $\tan \alpha > 0$
• II четверть ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$): $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha < 0$, $\tan \alpha < 0$
• III четверть ($180^\circ < \alpha < 270^\circ$): $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha < 0$, $\tan \alpha > 0$
• IV четверть ($270^\circ < \alpha < 360^\circ$): $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha > 0$, $\tan \alpha < 0$

$z_1 = \sin 200^\circ + i \cos 170^\circ$

Действительная часть: $x_1 = \sin 200^\circ$. Угол $200^\circ$ находится в третьей четверти ($180^\circ < 200^\circ < 270^\circ$), где синус отрицателен. Следовательно, $x_1 < 0$.

Мнимая часть: $y_1 = \cos 170^\circ$. Угол $170^\circ$ находится во второй четверти ($90^\circ < 170^\circ < 180^\circ$), где косинус отрицателен. Следовательно, $y_1 < 0$.

Поскольку $x_1 < 0$ и $y_1 < 0$, комплексное число $z_1$ находится в третьей координатной четверти.

Ответ: третья четверть.

$z_2 = \sin 250^\circ + i \cos 70^\circ$

Действительная часть: $x_2 = \sin 250^\circ$. Угол $250^\circ$ находится в третьей четверти ($180^\circ < 250^\circ < 270^\circ$), где синус отрицателен. Следовательно, $x_2 < 0$.

Мнимая часть: $y_2 = \cos 70^\circ$. Угол $70^\circ$ находится в первой четверти ($0^\circ < 70^\circ < 90^\circ$), где косинус положителен. Следовательно, $y_2 > 0$.

Поскольку $x_2 < 0$ и $y_2 > 0$, комплексное число $z_2$ находится во второй координатной четверти.

Ответ: вторая четверть.

$z_3 = \cos 440^\circ + i \cos 460^\circ$

Действительная часть: $x_3 = \cos 440^\circ = \cos(360^\circ + 80^\circ) = \cos 80^\circ$. Угол $80^\circ$ находится в первой четверти, где косинус положителен. Следовательно, $x_3 > 0$.

Мнимая часть: $y_3 = \cos 460^\circ = \cos(360^\circ + 100^\circ) = \cos 100^\circ$. Угол $100^\circ$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, $y_3 < 0$.

Поскольку $x_3 > 0$ и $y_3 < 0$, комплексное число $z_3$ находится в четвертой координатной четверти.

Ответ: четвертая четверть.

$z_4 = \tan 185^\circ + i \arccos 0.9$

Действительная часть: $x_4 = \tan 185^\circ$. Угол $185^\circ$ находится в третьей четверти ($180^\circ < 185^\circ < 270^\circ$), где тангенс положителен. Следовательно, $x_4 > 0$.

Мнимая часть: $y_4 = \arccos 0.9$. Область значений функции арккосинус — отрезок $[0, \pi]$. Так как аргумент $0.9$ положителен ($0 < 0.9 < 1$), значение $\arccos 0.9$ будет находиться в интервале $(0, \pi/2)$. Следовательно, $y_4 > 0$.

Поскольку $x_4 > 0$ и $y_4 > 0$, комплексное число $z_4$ находится в первой координатной четверти.

Ответ: первая четверть.