Номер 10.2, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 10. Извлечение корней из комплексных чисел. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 10.2, страница 57.

O10.2. Решите уравнение относительно $n$ ($n \in \mathbb{Z}$):

а) $i^7 + i^n = 0;$

б) $i^9 + i^n = 1 + i;$

в) $i^{-12} + i^{-13} + i^9 + i^n = 2;$

г) $i^{2005} + i^n = 1 - i.$

Для решения данных уравнений воспользуемся свойствами мнимой единицы $i$, в частности ее степенями. Степени $i$ циклически повторяются с периодом 4: $i^0=1$, $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$, и так далее. В общем виде, для любого целого числа $k$, значение $i^k$ зависит от остатка от деления $k$ на 4:

• Если $k = 4m$, то $i^k = i^{4m} = (i^4)^m = 1^m = 1$.
• Если $k = 4m+1$, то $i^k = i^{4m+1} = i^{4m} \cdot i^1 = 1 \cdot i = i$.
• Если $k = 4m+2$, то $i^k = i^{4m+2} = i^{4m} \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1$.
• Если $k = 4m+3$, то $i^k = i^{4m+3} = i^{4m} \cdot i^3 = 1 \cdot (-i) = -i$.

где $m$ - любое целое число ($m \in \mathbb{Z}$).

а) $i^7 + i^n = 0$

Сначала упростим $i^7$. Показатель степени $7$ при делении на $4$ дает в остатке $3$ ($7 = 4 \cdot 1 + 3$).
Следовательно, $i^7 = i^3 = -i$.
Подставим это значение в уравнение: $-i + i^n = 0$
Отсюда получаем: $i^n = i$
Это равенство верно, когда показатель степени $n$ при делении на $4$ дает в остатке $1$.
Таким образом, $n$ можно представить в виде $n = 4k + 1$, где $k$ - любое целое число.
Ответ: $n = 4k + 1, k \in \mathbb{Z}$.

б) $i^9 + i^n = 1 + i$

Упростим $i^9$. Показатель степени $9$ при делении на $4$ дает в остатке $1$ ($9 = 4 \cdot 2 + 1$).
Следовательно, $i^9 = i^1 = i$.
Подставим в уравнение: $i + i^n = 1 + i$
Вычитая $i$ из обеих частей уравнения, получаем: $i^n = 1$
Это равенство верно, когда показатель степени $n$ делится на $4$ без остатка.
Таким образом, $n$ можно представить в виде $n = 4k$, где $k$ - любое целое число.
Ответ: $n = 4k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $i^{-12} + i^{-13} + i^9 + i^n = 2$

Упростим каждое слагаемое:
$i^{-12} = (i^4)^{-3} = 1^{-3} = 1$, так как $-12$ делится на $4$ нацело.
$i^{-13}$: показатель $-13$ при делении на $4$ дает в остатке $3$ ($-13 = 4 \cdot (-4) + 3$). Следовательно, $i^{-13} = i^3 = -i$.
$i^9$: показатель $9$ при делении на $4$ дает в остатке $1$ ($9 = 4 \cdot 2 + 1$). Следовательно, $i^9 = i^1 = i$.
Подставим упрощенные значения в уравнение: $1 + (-i) + i + i^n = 2$
$1 + i^n = 2$
Вычитая $1$ из обеих частей, получаем: $i^n = 1$
Это равенство верно, когда показатель степени $n$ делится на $4$ без остатка.
Таким образом, $n = 4k$, где $k$ - любое целое число.
Ответ: $n = 4k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $i^{2005} + i^n = 1 - i$

Упростим $i^{2005}$. Для этого найдем остаток от деления $2005$ на $4$. $2005 = 4 \cdot 501 + 1$. Остаток равен $1$.
Следовательно, $i^{2005} = i^1 = i$.
Подставим это значение в уравнение: $i + i^n = 1 - i$
Выразим $i^n$: $i^n = 1 - i - i$
$i^n = 1 - 2i$
Для любого целого $n$ значение $i^n$ может быть только одним из четырех: $1, i, -1, -i$.
Комплексное число $1 - 2i$ не равно ни одному из этих значений. Другой способ это показать — сравнить модули. Модуль левой части $|i^n| = |i|^n = 1^n = 1$.
Модуль правой части $|1 - 2i| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.
Так как $1 \neq \sqrt{5}$, равенство $i^n = 1 - 2i$ невозможно ни при каком целом $n$. Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений ($n \in \emptyset$).