Номер 10.6, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 10. Извлечение корней из комплексных чисел. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 10.6, страница 57.

○10.6. Изобразите на комплексной плоскости множество всех комплексных чисел $z$, для которых выполняется заданное неравенство:

a) $Re\bar{z} > 3;$

б) $Im\bar{z} \ge 5;$

в) $Re\bar{z} > Im\bar{z};$

г) $Re\bar{z} \le Im\bar{z}.$

Пусть комплексное число $z$ имеет вид $z = x + iy$, где $x = \text{Re } z$ - его действительная часть, а $y = \text{Im } z$ - мнимая часть. Тогда комплексно-сопряженное число $\bar{z}$ равно $\bar{z} = x - iy$. Действительная часть числа $\bar{z}$ есть $\text{Re } \bar{z} = x$, а мнимая часть - $\text{Im } \bar{z} = -y$. На комплексной плоскости числу $z$ соответствует точка с координатами $(x, y)$.

а)

Неравенство $\text{Re } \bar{z} > 3$ преобразуется к виду $x > 3$. Это неравенство определяет множество точек на комплексной плоскости, у которых действительная координата $x$ строго больше 3. Геометрически это представляет собой открытую полуплоскость, расположенную справа от вертикальной прямой $x=3$. Так как неравенство строгое, сама прямая $x=3$ в искомое множество не входит и изображается пунктирной линией.

Ответ: открытая полуплоскость, расположенная справа от вертикальной прямой $x=3$. Сама прямая в множество не входит.

б)

Неравенство $\text{Im } \bar{z} \ge 5$ преобразуется к виду $-y \ge 5$. Умножив обе части неравенства на -1 и изменив знак неравенства на противоположный, получим $y \le -5$. Это неравенство определяет множество точек на комплексной плоскости, у которых мнимая координата $y$ меньше или равна -5. Геометрически это представляет собой замкнутую полуплоскость, расположенную ниже горизонтальной прямой $y=-5$. Так как неравенство нестрогое, сама прямая $y=-5$ включается в искомое множество и изображается сплошной линией.

Ответ: замкнутая полуплоскость, расположенная ниже горизонтальной прямой $y=-5$. Сама прямая входит в множество.

в)

Неравенство $\text{Re } \bar{z} > \text{Im } \bar{z}$ преобразуется к виду $x > -y$. Переписав неравенство, получим $y > -x$. Это неравенство определяет множество точек на комплексной плоскости, которые лежат выше прямой $y=-x$. Эта прямая является биссектрисой второго и четвертого координатных углов. Поскольку неравенство строгое, точки, лежащие на самой прямой $y=-x$, в множество не входят. Прямая изображается пунктирной линией.

Ответ: открытая полуплоскость, расположенная выше прямой $y=-x$. Сама прямая в множество не входит.

г)

Неравенство $\text{Re } \bar{z} \le \text{Im } \bar{z}$ преобразуется к виду $x \le -y$. Переписав неравенство, получим $y \le -x$. Это неравенство определяет множество точек на комплексной плоскости, которые лежат на прямой $y=-x$ или ниже неё. Эта прямая является биссектрисой второго и четвертого координатных углов. Поскольку неравенство нестрогое, точки, лежащие на самой прямой $y=-x$, включаются в искомое множество. Прямая изображается сплошной линией.

Ответ: замкнутая полуплоскость, расположенная ниже прямой $y=-x$, включая саму прямую.