Номер 9.48, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.48, страница 56.

9.48. На графике функции $y = x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{3}x$ выбирают произвольную точку $M$ и соединяют с началом координат $O$. Строят прямоугольник, диагональю которого является отрезок $OM$, а две стороны расположены на осях координат. Найдите наименьшее значение периметра такого прямоугольника.

Пусть произвольная точка $M$ на графике функции имеет координаты $(x, y)$. Так как точка $M$ принадлежит графику функции $y = x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{3}x$, ее координаты можно записать как $(x, x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{3}x)$.

Начало координат $O$ имеет координаты $(0, 0)$. Прямоугольник, для которого отрезок $OM$ является диагональю, а две стороны лежат на осях координат, имеет вершины в точках $(0, 0)$, $(x, 0)$, $(0, y)$ и $(x, y)$. Длины сторон этого прямоугольника равны $|x|$ и $|y|$.

Периметр $P$ такого прямоугольника вычисляется по формуле:$P = 2(|x| + |y|)$

Подставив выражение для $y$, получим функцию периметра $P(x)$:$P(x) = 2(|x| + |x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{3}x|)$

Задача состоит в нахождении наименьшего значения функции $P(x)$. Областью определения исходной функции $y(x)$, а следовательно и функции $P(x)$, являются все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Рассмотрим значение функции $P(x)$ в точке $x = 0$. При $x = 0$, значение $y$ равно $y = 0^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{3} \cdot 0 = 0$. Таким образом, точка $(0,0)$ принадлежит графику функции. В этом случае точка $M$ совпадает с началом координат $O$, и периметр прямоугольника равен:$P(0) = 2(|0| + |0|) = 0$.

Поскольку периметр является суммой длин сторон, умноженной на два, а длины сторон ($|x|$ и $|y|$) не могут быть отрицательными, периметр также не может быть отрицательным: $P(x) \ge 0$ для любого $x$.Так как мы нашли точку, в которой периметр достигает значения 0, это и есть его наименьшее возможное значение.

Для полноты решения проведем исследование функции $P(x)$ с помощью производной.Сначала определим знак выражения $y(x) = x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{3}x = x^{\frac{2}{3}}(1 - \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}})$.Так как $x^{\frac{2}{3}} \ge 0$ для всех $x$, знак $y(x)$ определяется знаком выражения $(1 - \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}})$.

• При $x < 0$, имеем $x^{\frac{1}{3}} < 0$, поэтому $1 - \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}} > 0$, и следовательно $y > 0$.
• При $0 < x < 27$, имеем $0 < x^{\frac{1}{3}} < 3$, поэтому $1 - \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}} > 0$, и следовательно $y > 0$.
• При $x > 27$, имеем $x^{\frac{1}{3}} > 3$, поэтому $1 - \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}} < 0$, и следовательно $y < 0$.

Теперь исследуем $P(x)$ на разных интервалах.
1. При $x < 0$В этом случае $|x| = -x$ и $|y| = y$, так как $y > 0$.$P(x) = 2(-x + (x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{3}x)) = 2(x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3}x)$.Найдем производную: $P'(x) = 2(\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} - \frac{4}{3}) = \frac{4}{3}(x^{-\frac{1}{3}} - 2)$.Для $x < 0$, $x^{-\frac{1}{3}} = 1/\sqrt[3]{x}$ является отрицательным числом. Значит, $x^{-\frac{1}{3}} - 2$ также отрицательно, и $P'(x) < 0$. Таким образом, на интервале $(-\infty, 0)$ функция $P(x)$ убывает.

2. При $x > 0$В этом случае $|x| = x$.

• На интервале $0 < x \le 27$, $y \ge 0$, поэтому $|y| = y$. $P(x) = 2(x + x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{3}x) = 2(x^{\frac{2}{3}} + \frac{2}{3}x)$. Производная: $P'(x) = 2(\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} + \frac{2}{3}) = \frac{4}{3}(x^{-\frac{1}{3}} + 1)$. Для $x > 0$, $x^{-\frac{1}{3}} > 0$, значит $P'(x) > 0$. Функция $P(x)$ возрастает на $(0, 27]$.
• На интервале $x > 27$, $y < 0$, поэтому $|y| = -y$. $P(x) = 2(x - (x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{3}x)) = 2(\frac{4}{3}x - x^{\frac{2}{3}})$. Производная: $P'(x) = 2(\frac{4}{3} - \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}) = \frac{4}{3}(2 - x^{-\frac{1}{3}})$. Для $x > 27$, $x^{\frac{1}{3}} > 3$, откуда $0 < x^{-\frac{1}{3}} < 1/3$. Тогда $2 - x^{-\frac{1}{3}} > 0$, и $P'(x) > 0$. Функция $P(x)$ возрастает на $(27, \infty)$.

Таким образом, функция $P(x)$ убывает на интервале $(-\infty, 0)$ и возрастает на интервале $(0, \infty)$. Это означает, что в точке $x=0$ функция достигает своего глобального минимума.Значение этого минимума равно $P(0) = 0$.

Ответ: $0$