Номер 9.41, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.41, страница 55.

9.41. Проведите касательную к графику функции $y = f(x)$ из данной точки $M$:

a) $f(x) = \sqrt{x}$, $M(0; 1)$;

б) $f(x) = x^{\frac{3}{2}} + 4$, $M(0; 0)$.

а) $f(x) = \sqrt{x}$, $M(0; 1)$

1. Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

2. Найдем производную функции $f(x) = \sqrt{x}$:
$f'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

3. Пусть $A(x_0; f(x_0))$ — точка касания. Тогда уравнение касательной в этой точке: $y = \sqrt{x_0} + \frac{1}{2\sqrt{x_0}}(x - x_0)$.

4. Касательная проходит через точку $M(0; 1)$. Подставим координаты этой точки ($x=0$, $y=1$) в уравнение касательной, чтобы найти $x_0$: $1 = \sqrt{x_0} + \frac{1}{2\sqrt{x_0}}(0 - x_0)$.

5. Решим полученное уравнение. Область определения функции $f'(x)$ — $x > 0$, поэтому $x_0 > 0$.
$1 = \sqrt{x_0} - \frac{x_0}{2\sqrt{x_0}}$
Так как $x_0 > 0$, $\frac{x_0}{\sqrt{x_0}} = \sqrt{x_0}$.
$1 = \sqrt{x_0} - \frac{1}{2}\sqrt{x_0}$
$1 = \frac{1}{2}\sqrt{x_0}$
$\sqrt{x_0} = 2$
$x_0 = 4$.

6. Абсцисса точки касания равна 4. Найдем угловой коэффициент касательной, подставив $x_0 = 4$ в производную: $k = f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}$.

7. Теперь составим уравнение касательной, зная, что она проходит через точку $M(0; 1)$ и имеет угловой коэффициент $k = \frac{1}{4}$: $y - y_M = k(x - x_M)$
$y - 1 = \frac{1}{4}(x - 0)$
$y = \frac{1}{4}x + 1$.

Ответ: $y = \frac{1}{4}x + 1$.

б) $f(x) = x^{\frac{3}{2}} + 4$, $M(0; 0)$

1. Уравнение касательной в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

2. Найдем производную функции $f(x) = x^{\frac{3}{2}} + 4$:
$f'(x) = (x^{\frac{3}{2}} + 4)' = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} + 0 = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$.

3. Пусть $A(x_0; f(x_0))$ — точка касания. Тогда уравнение касательной в этой точке: $y = (x_0^{\frac{3}{2}} + 4) + \frac{3}{2}\sqrt{x_0}(x - x_0)$.

4. Касательная проходит через точку $M(0; 0)$. Подставим координаты этой точки ($x=0$, $y=0$) в уравнение касательной, чтобы найти $x_0$: $0 = (x_0^{\frac{3}{2}} + 4) + \frac{3}{2}\sqrt{x_0}(0 - x_0)$.

5. Решим полученное уравнение. Область определения функции $f(x)$ — $x \ge 0$.
$0 = x_0^{\frac{3}{2}} + 4 - \frac{3}{2}x_0\sqrt{x_0}$
Так как $x_0\sqrt{x_0} = x_0^1 \cdot x_0^{\frac{1}{2}} = x_0^{\frac{3}{2}}$: $0 = x_0^{\frac{3}{2}} + 4 - \frac{3}{2}x_0^{\frac{3}{2}}$
$0 = 4 - \frac{1}{2}x_0^{\frac{3}{2}}$
$\frac{1}{2}x_0^{\frac{3}{2}} = 4$
$x_0^{\frac{3}{2}} = 8$
$x_0 = 8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.

6. Абсцисса точки касания равна 4. Найдем угловой коэффициент касательной, подставив $x_0 = 4$ в производную: $k = f'(4) = \frac{3}{2}\sqrt{4} = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$.

7. Составим уравнение касательной, зная, что она проходит через точку $M(0; 0)$ и имеет угловой коэффициент $k = 3$: $y - y_M = k(x - x_M)$
$y - 0 = 3(x - 0)$
$y = 3x$.

Ответ: $y = 3x$.