Номер 9.35, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.35, страница 54.

9.35. Найдите скорость изменения функции $y = h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

a) $h(x) = x^{\frac{7}{3}} - (1 - 3x)^{-1}, x_0 = 0;$

б) $h(x) = \sqrt[4]{2 \sin 2x}, x_0 = \frac{\pi}{12};$

в) $h(x) = (3 - x^{-1})^2, x_0 = -1;$

г) $h(x) = \frac{\cos (x^{18} - 3\sqrt[3]{x^7} + 0,25\pi + \pi x)}{\pi}, x_0 = 0.$

Скорость изменения функции в точке $x_0$ равна значению ее производной $h'(x_0)$ в этой точке.

а) Дана функция $h(x) = x^{\frac{7}{3}} - (1 - 3x)^{-1}$ и точка $x_0 = 0$.

Найдем производную функции $h'(x)$, используя правило дифференцирования разности, степенной функции и сложной функции:

$h'(x) = (x^{\frac{7}{3}})' - ((1 - 3x)^{-1})' = \frac{7}{3}x^{\frac{7}{3}-1} - (-1)(1 - 3x)^{-1-1} \cdot (1-3x)'$

$= \frac{7}{3}x^{\frac{4}{3}} + (1 - 3x)^{-2} \cdot (-3) = \frac{7}{3}x^{\frac{4}{3}} - 3(1-3x)^{-2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$h'(0) = \frac{7}{3}(0)^{\frac{4}{3}} - 3(1 - 3 \cdot 0)^{-2} = 0 - 3(1)^{-2} = -3$.

Ответ: $-3$.

б) Дана функция $h(x) = \sqrt[4]{2 \sin 2x}$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{12}$.

Запишем функцию в виде $h(x) = (2 \sin 2x)^{\frac{1}{4}}$. Найдем ее производную, используя правило дифференцирования сложной функции:

$h'(x) = \frac{1}{4}(2 \sin 2x)^{\frac{1}{4}-1} \cdot (2 \sin 2x)' = \frac{1}{4}(2 \sin 2x)^{-\frac{3}{4}} \cdot 2 \cos 2x \cdot (2x)'$

$= \frac{1}{4}(2 \sin 2x)^{-\frac{3}{4}} \cdot 2 \cos 2x \cdot 2 = \frac{\cos 2x}{(2 \sin 2x)^{\frac{3}{4}}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{12}$. Сначала найдем $2x_0 = 2 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$.

$h'(\frac{\pi}{12}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{6})}{(2 \sin(\frac{\pi}{6}))^{\frac{3}{4}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{(2 \cdot \frac{1}{2})^{\frac{3}{4}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1^{\frac{3}{4}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) Дана функция $h(x) = (3 - x^{-1})^2$ и точка $x_0 = -1$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:

$h'(x) = 2(3 - x^{-1})^{2-1} \cdot (3 - x^{-1})' = 2(3 - x^{-1}) \cdot (-(-1)x^{-1-1}) = 2(3 - x^{-1}) \cdot x^{-2}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$h'(-1) = 2(3 - (-1)^{-1}) \cdot (-1)^{-2} = 2(3 - (-1)) \cdot 1 = 2(3+1) = 8$.

Ответ: $8$.

г) Дана функция $h(x) = \frac{\cos(x^{18} - 3\sqrt[3]{x^7} + 0.25\pi + \pi x)}{\pi}$ и точка $x_0 = 0$.

Запишем функцию в виде $h(x) = \frac{1}{\pi} \cos(x^{18} - 3x^{\frac{7}{3}} + \frac{\pi}{4} + \pi x)$. Найдем ее производную:

$h'(x) = \frac{1}{\pi} \cdot (-\sin(x^{18} - 3x^{\frac{7}{3}} + \frac{\pi}{4} + \pi x)) \cdot (x^{18} - 3x^{\frac{7}{3}} + \frac{\pi}{4} + \pi x)'$

$= -\frac{1}{\pi} \sin(x^{18} - 3x^{\frac{7}{3}} + \frac{\pi}{4} + \pi x) \cdot (18x^{17} - 3 \cdot \frac{7}{3}x^{\frac{4}{3}} + \pi)$

$= -\frac{1}{\pi} \sin(x^{18} - 3x^{\frac{7}{3}} + \frac{\pi}{4} + \pi x) \cdot (18x^{17} - 7x^{\frac{4}{3}} + \pi)$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$h'(0) = -\frac{1}{\pi} \sin(0^{18} - 3 \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 0) \cdot (18 \cdot 0^{17} - 7 \cdot 0^{\frac{4}{3}} + \pi)$

$= -\frac{1}{\pi} \sin(\frac{\pi}{4}) \cdot \pi = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.