Номер 9.29, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.29, страница 53.

9.29. a) $y = \frac{x^3 - 5}{\sqrt[3]{x} + 1}$;

б) $y = \frac{3\sqrt{x} - 7}{x^4 + 1}$.

а)

Для того чтобы найти производную функции $y = \frac{x^3 - 5}{\sqrt[3]{x} + 1}$, мы воспользуемся правилом дифференцирования частного (формулой для производной дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае, числитель $u(x) = x^3 - 5$, а знаменатель $v(x) = \sqrt[3]{x} + 1 = x^{1/3} + 1$.

Сначала найдем производные числителя и знаменателя:
$u'(x) = (x^3 - 5)' = 3x^2$
$v'(x) = (x^{1/3} + 1)' = \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} + 0 = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

Теперь подставим найденные производные в формулу:
$y' = \frac{(3x^2)(\sqrt[3]{x} + 1) - (x^3 - 5) \cdot \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}}{(\sqrt[3]{x} + 1)^2}$

Упростим выражение в числителе. Для удобства запишем корни в виде степеней:
$u'v - uv' = 3x^2(x^{1/3} + 1) - (x^3 - 5) \frac{1}{3}x^{-2/3}$
$= (3x^{2} \cdot x^{1/3} + 3x^2) - (\frac{1}{3}x^3 \cdot x^{-2/3} - \frac{5}{3}x^{-2/3})$
$= 3x^{7/3} + 3x^2 - \frac{1}{3}x^{7/3} + \frac{5}{3}x^{-2/3}$
$= (3 - \frac{1}{3})x^{7/3} + 3x^2 + \frac{5}{3}x^{-2/3}$
$= \frac{8}{3}x^{7/3} + 3x^2 + \frac{5}{3}x^{-2/3}$

Приведем числитель к общему знаменателю $3x^{2/3}$, чтобы избавиться от дробей и отрицательных степеней:
$= \frac{8x^{7/3} \cdot x^{2/3} + 3x^2 \cdot 3x^{2/3} + 5}{3x^{2/3}}$
$= \frac{8x^{9/3} + 9x^{2+2/3} + 5}{3x^{2/3}} = \frac{8x^3 + 9x^{8/3} + 5}{3x^{2/3}}$

Теперь подставим это выражение обратно в формулу для производной:
$y' = \frac{\frac{8x^3 + 9x^{8/3} + 5}{3x^{2/3}}}{(\sqrt[3]{x} + 1)^2} = \frac{8x^3 + 9x^{8/3} + 5}{3x^{2/3}(\sqrt[3]{x} + 1)^2}$

Запишем ответ, используя знаки радикала: $x^{8/3} = x^{2+2/3} = x^2\sqrt[3]{x^2}$ и $x^{2/3} = \sqrt[3]{x^2}$.
Ответ: $y' = \frac{8x^3 + 9x^2\sqrt[3]{x^2} + 5}{3\sqrt[3]{x^2}(\sqrt[3]{x} + 1)^2}$.

---

б)

Для нахождения производной функции $y = \frac{3\sqrt{x} - 7}{x^4 + 1}$ снова используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь числитель $u(x) = 3\sqrt{x} - 7 = 3x^{1/2} - 7$, а знаменатель $v(x) = x^4 + 1$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:
$u'(x) = (3x^{1/2} - 7)' = 3 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} - 0 = \frac{3}{2}x^{-1/2} = \frac{3}{2\sqrt{x}}$
$v'(x) = (x^4 + 1)' = 4x^3$

Подставляем в формулу производной частного:
$y' = \frac{(\frac{3}{2\sqrt{x}})(x^4 + 1) - (3\sqrt{x} - 7)(4x^3)}{(x^4 + 1)^2}$

Упростим числитель. Приведем все слагаемые в числителе к общему знаменателю $2\sqrt{x}$:
$u'v - uv' = \frac{3(x^4 + 1)}{2\sqrt{x}} - 4x^3(3\sqrt{x} - 7)$
$= \frac{3(x^4 + 1) - 4x^3(3\sqrt{x} - 7) \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$
$= \frac{3x^4 + 3 - 8x^3\sqrt{x}(3\sqrt{x} - 7)}{2\sqrt{x}}$
$= \frac{3x^4 + 3 - (8x^3\sqrt{x} \cdot 3\sqrt{x} - 8x^3\sqrt{x} \cdot 7)}{2\sqrt{x}}$
$= \frac{3x^4 + 3 - (24x^3 \cdot x - 56x^3\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}$
$= \frac{3x^4 + 3 - 24x^4 + 56x^3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$
$= \frac{-21x^4 + 56x^3\sqrt{x} + 3}{2\sqrt{x}}$

Теперь подставим упрощенный числитель в выражение для производной:
$y' = \frac{\frac{-21x^4 + 56x^3\sqrt{x} + 3}{2\sqrt{x}}}{(x^4 + 1)^2} = \frac{-21x^4 + 56x^3\sqrt{x} + 3}{2\sqrt{x}(x^4 + 1)^2}$

Ответ: $y' = \frac{-21x^4 + 56x^3\sqrt{x} + 3}{2\sqrt{x}(x^4 + 1)^2}$.