Номер 9.27, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.27, страница 53.

9.27. a) $y = 2x^4 + x\sqrt{x}$;

б) $y = \frac{2}{\sqrt[3]{x}} + 3x^6 - 1$;

в) $y = x^5 - \frac{1}{\sqrt{x}}$;

г) $y = x^3 - 7x\sqrt[5]{x}$.

а)

Исходная функция: $y = 2x^4 + x\sqrt{x}$.

Для нахождения производной, представим функцию в виде суммы степенных функций. Слагаемое $x\sqrt{x}$ можно записать как $x^1 \cdot x^{1/2} = x^{1 + 1/2} = x^{3/2}$.

Таким образом, функция примет вид: $y = 2x^4 + x^{3/2}$.

Теперь найдем производную $y'$, используя правило дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$ и правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$y' = (2x^4 + x^{3/2})' = (2x^4)' + (x^{3/2})'$.

Производная первого слагаемого: $(2x^4)' = 2 \cdot 4x^{4-1} = 8x^3$.

Производная второго слагаемого: $(x^{3/2})' = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$.

Складывая производные, получаем:

$y' = 8x^3 + \frac{3}{2}\sqrt{x}$.

Ответ: $y' = 8x^3 + \frac{3}{2}\sqrt{x}$.

б)

Исходная функция: $y = \frac{2}{\sqrt[3]{x}} + 3x^6 - 1$.

Представим первое слагаемое в виде степени $x$: $\frac{2}{\sqrt[3]{x}} = \frac{2}{x^{1/3}} = 2x^{-1/3}$.

Функция принимает вид: $y = 2x^{-1/3} + 3x^6 - 1$.

Найдем производную, используя правила дифференцирования. Производная константы равна нулю.

$y' = (2x^{-1/3} + 3x^6 - 1)' = (2x^{-1/3})' + (3x^6)' - (1)'$.

Производная первого слагаемого: $(2x^{-1/3})' = 2 \cdot (-\frac{1}{3})x^{-\frac{1}{3}-1} = -\frac{2}{3}x^{-4/3}$.

Производная второго слагаемого: $(3x^6)' = 3 \cdot 6x^{6-1} = 18x^5$.

Производная третьего слагаемого: $(1)' = 0$.

Собрав все вместе, получаем:

$y' = -\frac{2}{3}x^{-4/3} + 18x^5 = 18x^5 - \frac{2}{3x^{4/3}}$.

Ответ: $y' = 18x^5 - \frac{2}{3}x^{-4/3}$.

в)

Исходная функция: $y = x^5 - \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Представим второе слагаемое в виде степени $x$: $\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{1/2}} = x^{-1/2}$.

Функция принимает вид: $y = x^5 - x^{-1/2}$.

Найдем производную, используя правило дифференцирования разности $(u-v)'=u'-v'$ и правило для степенной функции:

$y' = (x^5 - x^{-1/2})' = (x^5)' - (x^{-1/2})'$.

Производная первого слагаемого: $(x^5)' = 5x^{5-1} = 5x^4$.

Производная второго слагаемого: $(x^{-1/2})' = (-\frac{1}{2})x^{-\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{2}x^{-3/2}$.

Тогда производная функции равна:

$y' = 5x^4 - (-\frac{1}{2}x^{-3/2}) = 5x^4 + \frac{1}{2}x^{-3/2} = 5x^4 + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$.

Ответ: $y' = 5x^4 + \frac{1}{2}x^{-3/2}$.

г)

Исходная функция: $y = x^3 - 7x\sqrt[5]{x}$.

Представим второе слагаемое в виде степени $x$: $7x\sqrt[5]{x} = 7x^1 \cdot x^{1/5} = 7x^{1 + 1/5} = 7x^{6/5}$.

Функция принимает вид: $y = x^3 - 7x^{6/5}$.

Найдем производную:

$y' = (x^3 - 7x^{6/5})' = (x^3)' - (7x^{6/5})'$.

Производная первого слагаемого: $(x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.

Производная второго слагаемого: $(7x^{6/5})' = 7 \cdot \frac{6}{5}x^{\frac{6}{5}-1} = \frac{42}{5}x^{1/5}$.

Собрав все вместе, получаем:

$y' = 3x^2 - \frac{42}{5}x^{1/5} = 3x^2 - \frac{42}{5}\sqrt[5]{x}$.

Ответ: $y' = 3x^2 - \frac{42}{5}x^{1/5}$.