Номер 9.25, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.25, страница 53.

Найдите производную заданной функции:

9.25. a) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$;

б) $y = \frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}$;

в) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$;

г) $y = \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$.

а) Для нахождения производной функции $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$, сначала представим её в виде степенной функции. Используя свойства, что $\sqrt{x} = x^{1/2}$ и $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$, получаем:

$y = \frac{1}{x^{1/2}} = x^{-1/2}$

Теперь применяем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = (x^{-1/2})' = -\frac{1}{2} \cdot x^{-1/2 - 1} = -\frac{1}{2}x^{-3/2}$

Преобразуем результат обратно в вид с корнем:

$y' = -\frac{1}{2x^{3/2}} = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$.

б) Для функции $y = \frac{1}{x^{3/5}}$, представим её в виде $y = x^{-3/5}$.

Находим производную по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = (x^{-3/5})' = -\frac{3}{5} \cdot x^{-3/5 - 1} = -\frac{3}{5}x^{-3/5 - 5/5} = -\frac{3}{5}x^{-8/5}$

Преобразуем результат, чтобы избавиться от отрицательной и дробной степени:

$y' = -\frac{3}{5x^{8/5}} = -\frac{3}{5\sqrt[5]{x^8}} = -\frac{3}{5x\sqrt[5]{x^3}}$

Ответ: $y' = -\frac{3}{5x\sqrt[5]{x^3}}$.

в) Для функции $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$, сначала представим её в виде степенной функции. Используя свойство $\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$, получаем:

$y = \frac{1}{x^{1/3}} = x^{-1/3}$

Находим производную по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = (x^{-1/3})' = -\frac{1}{3} \cdot x^{-1/3 - 1} = -\frac{1}{3}x^{-1/3 - 3/3} = -\frac{1}{3}x^{-4/3}$

Преобразуем результат в вид с корнем:

$y' = -\frac{1}{3x^{4/3}} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}} = -\frac{1}{3x\sqrt[3]{x}}$

Ответ: $y' = -\frac{1}{3x\sqrt[3]{x}}$.

г) Для функции $y = \frac{1}{x^{5/3}}$, представим её в виде $y = x^{-5/3}$.

Находим производную по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = (x^{-5/3})' = -\frac{5}{3} \cdot x^{-5/3 - 1} = -\frac{5}{3}x^{-5/3 - 3/3} = -\frac{5}{3}x^{-8/3}$

Преобразуем результат:

$y' = -\frac{5}{3x^{8/3}} = -\frac{5}{3\sqrt[3]{x^8}} = -\frac{5}{3x^2\sqrt[3]{x^2}}$

Ответ: $y' = -\frac{5}{3x^2\sqrt[3]{x^2}}$.