Номер 9.21, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.21, страница 52.

9.21. Известно, что $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$. Найдите:

а) $f(16x);$

б) $f(81x^4);$

в) $f\left(\frac{1}{81}x\right);$

г) $f(x^{-8}).$

Дана функция $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$. Чтобы найти значение функции для заданного аргумента, необходимо подставить этот аргумент вместо $x$ в определение функции и упростить полученное выражение, используя свойства степеней.

а) $f(16x)$

Подставим $16x$ в функцию вместо $x$:

$f(16x) = (16x)^{\frac{1}{4}}$

Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:

$(16x)^{\frac{1}{4}} = 16^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{4}}$

Вычислим $16^{\frac{1}{4}}$. Это корень 4-й степени из 16. Так как $16 = 2^4$, то:

$16^{\frac{1}{4}} = (2^4)^{\frac{1}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 2^1 = 2$

Таким образом, получаем:

$f(16x) = 2x^{\frac{1}{4}}$

Ответ: $2x^{\frac{1}{4}}$

б) $f(81x^4)$

Подставим $81x^4$ в функцию вместо $x$:

$f(81x^4) = (81x^4)^{\frac{1}{4}}$

Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:

$(81x^4)^{\frac{1}{4}} = 81^{\frac{1}{4}} \cdot (x^4)^{\frac{1}{4}}$

Вычислим $81^{\frac{1}{4}}$. Это корень 4-й степени из 81. Так как $81 = 3^4$, то:

$81^{\frac{1}{4}} = (3^4)^{\frac{1}{4}} = 3^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 3^1 = 3$

Далее, упростим $(x^4)^{\frac{1}{4}}$. По определению корня четной степени $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ для четного $n$. В нашем случае $n=4$:

$(x^4)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x^4} = |x|$

Следовательно, получаем:

$f(81x^4) = 3|x|$

Ответ: $3|x|$

в) $f\left(\frac{1}{81}x\right)$

Подставим $\frac{1}{81}x$ в функцию вместо $x$:

$f\left(\frac{1}{81}x\right) = \left(\frac{1}{81}x\right)^{\frac{1}{4}}$

Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:

$\left(\frac{1}{81}x\right)^{\frac{1}{4}} = \left(\frac{1}{81}\right)^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{4}}$

Вычислим $\left(\frac{1}{81}\right)^{\frac{1}{4}}$. Используя свойство степени дроби $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:

$\left(\frac{1}{81}\right)^{\frac{1}{4}} = \frac{1^{\frac{1}{4}}}{81^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{3}$

Таким образом, получаем:

$f\left(\frac{1}{81}x\right) = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{4}}$

Ответ: $\frac{1}{3}x^{\frac{1}{4}}$

г) $f(x^{-8})$

Подставим $x^{-8}$ в функцию вместо $x$:

$f(x^{-8}) = (x^{-8})^{\frac{1}{4}}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(x^{-8})^{\frac{1}{4}} = x^{-8 \cdot \frac{1}{4}} = x^{-\frac{8}{4}} = x^{-2}$

Это выражение также можно записать в виде дроби:

$x^{-2} = \frac{1}{x^2}$

Следовательно, получаем:

$f(x^{-8}) = x^{-2}$

Ответ: $x^{-2}$